(17)(本小题满分12分)

已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．

(Ⅰ)若a⊥b，求θ；

(Ⅱ)求｜a+b｜的最大值．

(18)(本小题满分12分)

某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．

(Ⅰ)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；

(Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．

(19)(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点．

(Ⅰ)证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；

(Ⅱ)设AA₁＝AC＝AB，求二面角A₁－AD－C₁的大小．

(20)(本小题满分12分)

设函数f(x)＝(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

(21)(本小题满分14分)

已知抛物线x²＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．

(Ⅰ)证明·为定值；

(Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．

(22)(本小题满分12分)

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根为S_n－1，n＝1，2，3，…．

(Ⅰ)求a₁，a₂；

(Ⅱ){a_n}的通项公式．

普通高等学校招生全国统一考试

(13)在(x⁴+)¹⁰的展开式中常数项是　　　　　　　 (用数字作答)

(14)已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为　　　　　　　　 ．

(15)过点(1，)的直线l将圆(x－2)²+y²＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝　　　　　　 ．

(16)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000)(元)月收入段应抽出　　　　　　　 人．

(1)已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|log₂x＞1}，则M∩N＝

(A)　　　　　　　　　　　　 (B){x|0＜x＜3}

(C){x|1＜x＜3}　　　　　　　　 (D){x|2＜x＜3}

(2)函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是

(A)2π　　　　　 (B)4π　　　　 (C)　　　　　 (D)

(3)＝

(A)i　　　　　 (B)－i　　　　 (C)　　　　　 (D)－

(4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为

(A)　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　　　　　 (D)

(5)已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y²＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是

(A)2　　　　　　 (B)6　　　　　 (C)4　　　　 (D)12

(6)函数y＝lnx－1(x＞0)的反函数为

(A)y＝e^x+1(x∈R)　　　　　　　　　　　 (B)y＝e^x－1(x∈R)

(C)y＝e^x+1(x＞1)　　　　　　　　　　　　 (D)y＝e^x－1(x＞1)

(7)如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝

(A)2∶1　　　　　　　 (B)3∶1

(C)3∶2　　　　　　　 (D)4∶3

(8)函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log₂x(x＞0)的图像关于原点

对称，则f(x)的表达式为

(A)f(x)＝(x＞0)　　　　　 (B)f(x)＝log₂(－x)(x＜0)

(C)f(x)＝－log₂x(x＞0)　　　　 (D)f(x)＝－log₂(－x)(x＜0)

(9)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为

(A)　　　　　　 (B)　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

(10)若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝

(A)3－cos2x　　　　 (B)3－sin2x　　　　 (C)3+cos2x　　　 (D)3+sin2x

(11)设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若＝，则＝

(A)　　　　　 (B)　　　　　　　　　 (C)　　　　　 (D)

(12)函数f(x)＝的最小值为

(A)190　　　　　 (B)171　　　　　　 (C)90　　　　 (D)45

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普通高等学校招生全国统一考试数学103

第Ⅱ卷

(本卷共10小题，共90分)

(17)(本小题满分12分)

在,求

(1)

(2)若点

(18)(本小题满分12分)

设等比数列的前n项和为，

(19)(本小题满分12分)

某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。

(I)求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。

(II)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。

(20)(本小题12分)

如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。

(I)证明：ED为异面直线与的公垂线；

(II)设求二面角的大小

(21)(本小题满分为14分)

设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。

(22)(本小题满分12分)

已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

(I)证明为定值；

(II)设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。

普通高等学校招生全国统一考试(全国II卷)

(13)在的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。(用数字作答)

(14)圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比＿＿＿＿＿。

(15)过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率

(16)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在(元)月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。

(1)已知向量＝(4，2)，向量＝(，3)，且//,则＝(　 )

(A)9　　 (B)6　　 (C)5　　 (D)3

(2)已知集合，则(　 )

(A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)

(3)函数的最小正周期是(　 )

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

(4)如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为(　 )

(A)　(B)　 (C)　(D)

(5)已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是(　 )

(A)　　(B)6　　(C)　　(D)12

(6)已知等差数列中，，则前10项的和＝(　 )

(A)100　　 (B)210　　 (C)380　　 (D)400

(7)如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则(　 )

(A)4　　(B)6　　 (C)8　　(D)9

(8)已知函数，则的反函数为(　 )

(A)　　(B)

(C)　　(D)

(9)已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为(　 )

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

(10)若则(　 )

(A)　(B)　 (C)　(D)

(11)过点(－1，0)作抛物线的切线，则其中一条切线为(　 )

(A) (B) (C) (D)

(12)5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有(　 )

(A)150种　　 (B)180种　　 (C)200种　　 (D)280种

第Ⅱ卷

(17)已知f(x)=Asin()(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点(1，2).

(1)求;

(2)计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).

(18)(本小题满分12分)

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。

(19)(本小题满分12分)

如图ABC-A₁B₁C₁，已知平面平行于三棱锥V-A₁B₁C₁的底面ABC，等边∆ AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且ABC=90°，设AC=2a,BC=a.

(1)求证直线B₁C₁是异面直线与A₁C₁的公垂线；

(2)求点A到平面VBC的距离；

(3)求二面角A-VB-C的大小.

(19题图)

(20) (本小题满分12分)

袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量的概率分布和数学期望；

(3)计分介于20分到40分之间的概率.

(21)(本小题满分12分)

双曲线C与椭圆有相同的热点，直线y=为C的一条渐近线.

(1)　　　 求双曲线C的方程；

(2)　　　 过点P(0,4)的直线l，求双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当 =，且时，求Q点的坐标.

(22)(本小题满分14分)

已知a₁=2，点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中=1，2，3，…

(1)　　　 证明数列{lg(1+a_n)}是等比数列；

(2)　　　 设T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及数列{a_n}的通项；

(3)　　　 记b_n=，求{b_n}数列的前项和S_n，并证明S_n+=1.

(13)若　　　　　 .

(14)已知抛物线y²=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，则y₁²+y₂²的最小值是　　　　　 .

(15)如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是A₁C₁的 中点，则直线AD 与平面B₁DC所成角的正弦值为　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　(15题图)

(16)下列四个命题中，真命题的序号有 　　　　　　　　　(写出所有真命题的序号).

①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=

②圆x²+y²+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2

③若sin(+)=　 ,则sin(+)=,则tancot=5

④如图，已知正方体ABCD- A₁B₁C₁D₁，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA₁D₁D的距离与到直线CC₁的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.

(16题图)

(1)定义集合运算：A⊙B={z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为

(A)0　 　　　(B)6　　　　　 (C)12　　　　　　　　 (D)18

(2)函数y=1+a^x(0<a<1)的反函数的图象大致是

　 (A)　　　　　　 (B)　　　　　 (C)　　　　　　　 (D)

(3)设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为

(A)(1，2)(3，+∞)　　　　　 　　　(B)(，+∞)

(C)(1，2) ( ，+∞) 　　　　　　(D)(1，2)

(4)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=

(A)　 1　　　　　 (B)2 　　　　　(C)-1　　　　　 (D)

(5)设向量a=(1,2),b=(－1,1),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为

(A)(2,6)　　　　 (B)(－2,6)　　　　 (C)(2,－6)　　　　　　　 (D)(－2,－6)

(6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为

(A)－1　　　　　 (B) 0　　　　　　 (C)　 1　　　　　　　　 (D)2

(7)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

(A)　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　 　　　　　　　　(D)

　 (8)设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的

(A)充分不必要条件　　　　　　　　　　　 (B)必要不充分条件

(C)充要条件　　　　　　　　　　　　　　 (D)既不充分也不必要条件

(9)已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为

(A)33　　　　 (B) 34　　　　　 (C) 35　　　　　　　 (D)36

(10)已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中i=－1，则展开式中常数项是

(A)－45i　　　 (B) 45i　　　　 (C) －45　　　　　　 (D)45

(11)某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是

(A)80　　　 (B) 85　　　　 (C) 90　　　　　 (D)95

(12)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为

(A)　　 (B)　　　 (C)　　　　　 (D)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (12题图)

绝密★启用前

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

(17)(本小题满分12分)

设函数f(x)=

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ) 讨论f(x)的极值. (18)(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝A且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1，2).

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2008).

(19)(本小题满分12分)

盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：

(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；

(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；

(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.

(20) (本小题满分12分)

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.

(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；

(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.

(21)(本小题满分12分)

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.

(22)(本小题满分14分)

已知数列{}中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令

(Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。

答案

普通高等学校招生全国统一考试