3．(广东卷)对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则

A.　　 　　B. 　　　　C. 　　　　D.

解析：由得,

所以,故选B.

2． (福建卷)对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;

②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.

其中真命题的个数为

A.0　　　　　　　 B.1　　　　　　　 C.2　　　　　　 D.3

解析：对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：　　　 　 ①若点C在线段AB上，设C点坐标为(x₀，y₀)，x₀在x₁、x₂之间，y₀在y₁、y₂之间，则=

③在中，

>

= ∴命题① ③成立，而命题②在中，若则明显不成立，选B.

1．(北京卷)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则

(A)　　 (B)　　 (C)　　　 (D)

解：依题意，有x₁＝50+x₃－55＝x₃－5，\x₁<x₃，同理，x₂＝30+x₁－20＝x₁+10\x₁<x₂，同理，x₃＝30+x₂－35＝x₂－5\x₃<x₂故选C

(17)本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.满分12分.

　　　 解：由倍角公式，　　　　 ……………2分

　　　 　　 由原式得

　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 ………………8分

　　　　 ，

　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………12分

(18)本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.

　　　 解：(Ⅰ)作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得

MP∥NQ，且MP=NQ，

即MNQP是平行四边形，∴　 MN=PQ.　　　　　　　　　　　　　　 ……………3分

　 由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

∴　 AC=BF=，

即　

　　　　　 .　　　　　　　　　　　　　 ………………6分

　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)，所以，当

　　　 　　　 即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为……9分

　 　　　 (Ⅲ)取MN的中点G，连结AG、BG，

　　　　　 ∵　 AM=AN，BM=BN，G为MN的中点

　　　 　　　 ∴　 AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，

　　　　　 又AG=BG=，所以，由余弦定理有

　　　　　 故所求二面角.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………12分

(19)本小题主要考查直线、双曲线等基础知识，考查基本运算、逻辑推理能力.满分12分.

　　　 解法一：设点P的坐标为(x,y)，依题设得=2，

　　　 即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①………2分

　　　 因此，点P(x,y)、M(－1，0)、N(1，0)三点不共线，得

　　　 　 因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②…………6分

　　　 　 将①式代入②，并解得

　　　 　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………8分

　　　 　 　　　解得.

　　　 即m的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………12分

　　　 解法二：设点P的坐标为(x,y)，依题设得，即

　　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①…………2分

　　　 　 由|PM|－|PN|=2m，得 　　　　　　　 ②…………4分

　　　 　 由②式可得

　　　 所以，.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………6分

　　　　　 由②式移项，两边平方整理得

将①式代入，整理得.　　　　　　　　　　　　　　　　 ③…………8分

③式右端大于0，.

综上，得m满足

即m的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………12分

(20)本小题主要考查为数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分.

　　　 解：设2001年末汽车保有量为b₁万辆，以后各年末汽车保有量依次为b₂万辆，b₃万辆，…，每年新增汽车x万辆，则

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………2分

　　　 对于n>1，有

　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………6分

　　　 当　　　　　　　 ………………8分

　　　 当

　　　 并且数列{b_n}逐项增加，可以任意靠近.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………10分

　　　 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即.

　　　 则(万辆).综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.………12分

(21)本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查分类讨论的思想和逻辑思维能力.满分12分.

　　　 解：(Ⅰ)当为偶函数.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………2分

　　　 当

　　　 .

　　　 此时函数既不是奇函数，也不是偶函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………4分

　　　 (Ⅱ)(i)当

　　 若上单调递减，从而，函数上的最小值为

　　　 若，则函数上的最小值为………7分

　　　 (ii)当时，函数

　　　 若

　　　 若

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………10分

　　　 综上，当

　　　 当

　　　 当　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………12分

(22)本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力.满分14分.

　　　 解：(Ⅰ)由

　　　 由由此猜想的一个通项公式：………4分

(Ⅱ)(i)用数学归纳法证明：

①当，不等式成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………6分

②假设当时不等式成立，即，那么

也就是说，当　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

根据①和②，对于所有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………10分

(ii)由(i)，对

　　　　　　　　　　　　　 ……………12分

于是

……14分

(13)2　 　 (14)1　　 (15)1 008　　　 (16)

(1)A　　　 (2)C　　　 (3)D　　 (4)C　　 (5)B　　　 (6)B　

(7)C　　　 (8)B　　　 (9)A　　 (10)B　　 (11)B　　 (12)C

(17)已知，，求、的值。

(18)如图，正方形、的边长都是1，而且平 面　 、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若()

(I)求的长；

(II)为何值时，的长最小；

(III)当的长最小时，求面与面所成二面角的大小。

(19)设点到点、距离之差为，到、轴的距离之比为2，求的取值范围。

(20)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

(21)设为实数，函数，

(I)讨论的奇偶性；

(II)求的最小值。

(22)设数列满足：，

(I)当时，求并由此猜测的一个通项公式；

(II)当时，证明对所的，有

(i)

(ii)

数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

(13)函数在上的最大值与最小值这和为3，则＝　　

(14)椭圆的一个焦点是，那么　　　

(15)展开式中的系数是　　　

(16)已知，那么＝　

(1)圆的圆心到直线的距离是

(A)　　 (B)　　　 (C)1　　(D)

(2)复数的值是

(A)　　(B)　　(C)　　　(D)1

(3)不等式的解集是

(A)　　　　　 (B)且

(C)　　　　 (D)且

(4)在内，使成立的的取值范围是

(A)　　　 　(B)　

(C)　　　　　　　 (D)

(5)设集合，，则

(A)　 (B)　(C)　　(D)

(6)点到曲线(其中参数)上的点的最短距离为

(A)0　 　　 (B)1　　(C)　　(D)2

(7)一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是

(A)　　　 (B)　　　 　(C)　　(D)

(8)正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是

(A)　　 (B)　　 　 (C)　　(D)

(9)函数()是单调函数的充要条件是

(A)　　 (B)　 　 (C)　　(D)

(10)函数的图象是

(11)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

(A)8种　 　 (B)12种　　 (C)16种　 　(D)20种

(12)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间(2001年－2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为

(A)115000亿元　(B)120000亿元　(C)127000亿元　(D)135000亿元

第II卷(非选择题共90分)

(15)本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.　

(Ⅰ)解：因为

所以的最小正周期

(Ⅱ)解：因为所以

　　　 当时，取得最大值；当时，取得最小值－1. 所以在上的最大值为1，最小值为－

(16)本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.

　 (Ⅰ)解：设数列公差为，则 又

所以(Ⅱ)解：令则由得

　①

　 ②

　当时，①式减去②式，得

　　 所以

当时, 综上可得当时,　

　　 当时，

(17)本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.

　 (Ⅰ)证明：CD//C₁B₁，又BD=BC=B₁C₁， ∴ 四边形BDB₁C₁是平行四边形， ∴BC₁//DB₁.

又DB₁平面AB₁D，BC₁平面AB₁D，∴直线BC₁//平面AB₁D.

(Ⅱ)解：过B作BE⊥AD于E，连结EB₁，

∵B₁B⊥平面ABD，∴B₁E⊥AD ，

∴∠B₁EB是二面角B₁-AD-B的平面角，

∵BD=BC=AB，

∴E是AD的中点，

在Rt△B₁BE中，

∴∠B₁EB=60°。即二面角B₁-AD-B的大小为60°

　 (Ⅲ)解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B₁B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

∴AF⊥平面BB₁C₁C，且AF=

　即三棱锥C₁-ABB₁的体积为

　　　　 解法二：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

　 即三棱锥C₁-ABB₁的体积为

(18)本小主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.

　 (Ⅰ)解：椭圆方程为焦点坐标为

　　　 离心率

(Ⅱ)证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得

整理得根据韦达定理，得

　 所以 ①

将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得，

由①，②得所以结论成立.

(Ⅲ)证明：设点P(p,0)，点Q(q,0)，由C、P、H共线，

　 得解得，

　 由D、Q、G共线，同理可得

　 变形得

　　 即

　 所以

(19)本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

　　 (Ⅰ)解：由题设可知，记设P的坐标为(0，)，则P至三镇距离的平方和为　 所以，当时，函数取得最小值.　 答:点P的坐标是

(Ⅱ)解法一：P至三镇的最远距离为

　　 由解得记于是

　　 　当即时，在[上是增函数，而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中

　 解法二:P至三镇的最远距离为　 由解得

　 记于是　　

　 当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

　 当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为(0，0)，其中

　　 解法三：因为在△ABC中，AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为，

　 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P₁；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P₂，

若(如图1)，则点M在线段AO上，

这时P到A、B、C三点的最远距离为

P₁C和P₂A，且P₁C≥MC，P₂A≥MA，所以点P与外心M

重合时，P到三镇的最远距离最小.

　若(如图2),则点M在线段AO外,这时

P到A、B、C三点的最远距离为P₁C或P₂A，

　 且P₁C≥OC，P₂A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，

P到三镇的最远距离最小为.

答：当时，点P的位置在△ABC的外心

；当时，点P的位置在原点O.

(20)本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当时，有

即

(Ⅱ)证法一：对任意的

当不妨设则

所以，

综上可知，对任意的都有

证法二：由(Ⅰ)可得，当

所以，当因此，对任意的

当时，当时，有

且

所以

综上可知，对任意的都有

(Ⅲ)答：满足所述条件的函数不存在.

　　 理由如下，假设存在函数满足条件，则由

　 得　 又所以①

　 又因为为奇数，所以由条件

得 ②　 ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.