16. (本小题满分12分)

解：(1) f (x)=2sin( x +) + a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……3分

　　　 由2+a=1得a= -1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

(2)由f (x)≥0得sin( x +)≥，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………5分

则　　　　　　　　　　　　　　 ………7分

∴{x|2kp≤x≤2kp+， k∈Z}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……8分

(3) x∈[0，p]　　　　　　　　　………9分

则－≤sin( x +)≤1　　　　　　　　　　　………11分

故值域　yÎ[-2,　 1]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

13. {x|x<0或x>6};　14. ;　 　15..

9． ；　 10．；　 11．　sinx　 ；　　 12．__12　 ;　

21．(本题满分分)

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

(Ⅰ)设，试求函数的表达式；

(Ⅱ)是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数

，，使得不等式成立，求的最大值．

广东省2010高中青年教师命题大赛(21)

数学 (理科)答案及评分标准

20．(本题满分14分)

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.

(3)设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M(－2，0)及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围.

19．(本题满分分)

已知数列满足：且

．

(Ⅰ)求，，，的值及数列的通项公式；

(Ⅱ)设，求数列的前项和；

18．(本题满分14分)

如图，已知正三棱柱-的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．

　　 (Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长；

(Ⅱ) 求二面角的大小；

(Ⅲ)求点到平面的距离．

17. (本题满分12分)

如图所示, 有两个独立的转盘、.两个图中三个扇形区域的圆心角分别为、、.用这两个转盘进行玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下(指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始)，记转盘指针对的数为，转盘指针对的数为.设的值为,每转动一次则得到奖励分分.

(Ⅰ)求<2且>1的概率；

(Ⅱ) 某人玩12次，求他平均可以得到多少奖励分？

16．(本题满分12分)

已知函数f (x) = sin( x +) +sin (x -) + cosx + a的最大值为1．

　　 (1) 求常数a的值；

　　 (2) 求使f (x)≥0成立的x的取值集合；

　　 (3) 若 x∈[0，p]，求函数的值域．