17. (福建卷)已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。

　　　 (I)求的解析式；

　　　 (II)是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。

本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质

的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

(I)解：是二次函数，且的解集是

可设

在区间上的最大值是

由已知，得

(II)方程等价于方程

设

则

当时，是减函数；

当时，是增函数。

方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，

所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。

16. (本小题共12分)(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点

且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．

(Ⅰ)求的取值范围；

(Ⅱ)是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；

如果不存在，请说明理由．

解：

(Ⅰ)圆的方程可写成，所以圆心为，过

且斜率为的直线方程为．

代入圆方程得，

整理得．　　①

直线与圆交于两个不同的点等价于

，

解得，即的取值范围为．

(Ⅱ)设，则，

由方程①，

　　②

又．　　③

而．

所以与共线等价于，

将②③代入上式，解得．

由(Ⅰ)知，故没有符合题意的常数．

15. (本小题共12分)

已知一次函数。

(Ⅰ)当a = 3时，解不等式 ；

(Ⅱ)设函数的最大值为4，求实数a的值.

解 (Ⅰ)

　　 ∴ 不等式的解集为 。--------------6

(Ⅱ)。

　 ，所以 。

　∴ 。

　 ∴ 当时，，得a = 6；

　 当时，，得。--------12

14. (上海文11)如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与

线段围成图形面积的取值范围是　　　 　　　．

[答案]

[解析]如图，当外切于点C时，最大，此时，两圆半径为1，等于矩形ABO₂O₁的面积减去两扇形面积，，随着圆半径的变化，C可以向直线靠近，当C到直线的距离。

13．如图，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，

点P在椭圆上，△POF₂是面积为的正三角形，

则b²的值是　　　　　　　

答案：.

12. 对于函数，定义域为，以下命题正确的是(只要求写出命题的序号)　　　 ；

　①若，则是上的偶函数；

②若，则是上的递增函数；

③若，则在处一定有极大值或极小值；

④若，都有成立，则图象关于直线对称。

答案：④　

11．已知，则的最小值是_____4____________

10.在△中，已知，三角形面积为12，则　　　　 .

答案：

9. 抛物线的准线方程是____________________________.

8．设关于的不等式和的解集分别是、。下列说法中不正确的是( D )

A．不存在一个常数使得、同时为;

B．至少存在一个常数使得、都是仅含有一个元素的集合;

C．当、都是仅含有一个元素的集合时，总有;

D．当、都是仅含有一个元素的集合时，总有.