15．(湖北17).(本小题满分12分)

　 已知函数(m为常数，且m>0)有极大值9.

　 (Ⅰ)求m的值；

　 (Ⅱ)若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.

解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,

　　 当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞,－m)	－m	(－m,)		(,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)		极大值		极小值

从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依题意知f’(x)＝3x²+4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，

所以切线方程为y－6＝－5(x+1),或y－＝－5(x+)，

即5x+y－1＝0，或135x+27y－23＝0.

14．(重庆19)(本小题满分12分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问6分.)

　　　 设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：

　　　 (Ⅰ)a的值;

(Ⅱ)函数f(x)的单调区间.

　 解：(Ⅰ)因

　　　　　　 所以

　　　　　　 即当

　　　　　　 因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，

　　　　　　 所以

　　　　　　 解得

　　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

13．(浙江21)(本题15分)已知是实数，函数。

(Ⅰ)若，求的值及曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)求在区间上的最大值。

(Ⅰ)解：，

因为，

所以．

又当时，，，

所以曲线在处的切线方程为．

(Ⅱ)解：令，解得，．

当，即时，在上单调递增，从而

．

当，即时，在上单调递减，从而

．

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，从而

综上所述，

12．(天津21)(本小题满分14分)

设函数，其中．

(Ⅰ)当时，讨论函数的单调性；

(Ⅱ)若函数仅在处有极值，求的取值范围；

(Ⅲ)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

(Ⅰ)解：．

当时，

．

令，解得，，．

当变化时，，的变化情况如下表：

	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

(Ⅱ)解：，显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．

解此不等式，得．这时，是唯一极值．

因此满足条件的的取值范围是．

(Ⅲ)解：由条件可知，从而恒成立．

当时，；当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当

　　 即

在上恒成立．

所以，因此满足条件的的取值范围是．

11．(四川20)(本小题满分12分)

　 设和是函数的两个极值点。

(Ⅰ)求和的值；

(Ⅱ)求的单调区间

[解]：(Ⅰ)因为

由假设知：

解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

当时，

当时，

因此的单调增区间是

的单调减区间是

10．(山东21)(本小题满分12分)

设函数，已知和为的极值点．

(Ⅰ)求和的值；

(Ⅱ)讨论的单调性；

(Ⅲ)设，试比较与的大小．

解：(Ⅰ)因为

，

又和为的极值点，所以，

因此

解方程组得，．

(Ⅱ)因为，，

所以，

令，解得，，．

因为当时，；

当时，．

所以在和上是单调递增的；

在和上是单调递减的．

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知，

故，

令，

则．

令，得，

因为时，，

所以在上单调递减．

故时，；

因为时，，

所以在上单调递增．

故时，．

所以对任意，恒有，又，

因此，

故对任意，恒有．

9．(全国Ⅱ21)(本小题满分12分)

设，函数．

(Ⅰ)若是函数的极值点，求的值；

(Ⅱ)若函数，在处取得最大值，求的取值范围．

解：(Ⅰ)．

因为是函数的极值点，所以，即，因此．

经验证，当时，是函数的极值点．··············································· 4分

(Ⅱ)由题设，．

当在区间上的最大值为时，

，

即．

故得．··············································································································· 9分

反之，当时，对任意，

，

而，故在区间上的最大值为．

综上，的取值范围为．　　 12分

8．(全国Ⅰ21)(本小题满分12分)

已知函数，．

(Ⅰ)讨论函数的单调区间；

(Ⅱ)设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

解：(1)

求导：

当时，，

在上递增

当，求得两根为

即在递增，递减，

递增

(2)，且

解得：

7．(辽宁22)(本小题满分14分)

设函数在，处取得极值，且．

(Ⅰ)若，求的值，并求的单调区间；

(Ⅱ)若，求的取值范围．

解：．①················································································ 2分

(Ⅰ)当时，

；

由题意知为方程的两根，所以

．

由，得．··························································································· 4分

从而，．

当时，；当时，．

故在单调递减，在，单调递增．···································· 6分

(Ⅱ)由①式及题意知为方程的两根，

所以．

从而，

由上式及题设知．························································································· 8分

考虑，

．········································································ 10分

故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．

又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．

所以，即的取值范围为．··············································· 14分

6．(湖南21)已知函数有三个极值点。

(I)证明：；

(II)若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。

解：(I)因为函数有三个极值点,

所以有三个互异的实根.

　　　　 设则

　　　　 当时， 在上为增函数;

　　　　 当时， 在上为减函数;

　　　　 当时， 在上为增函数;

　　　 所以函数在时取极大值,在时取极小值.

　　　 当或时,最多只有两个不同实根.

　　　 因为有三个不同实根, 所以且.

　　　 即,且,

解得且故.

　　 (II)由(I)的证明可知，当时, 有三个极值点.

　　　　 不妨设为()，则

　　　　 所以的单调递减区间是,

　　　　 若在区间上单调递减，

则, 或,

　 若,则.由(I)知，,于是

　 若,则且.由(I)知，

　　　　 又当时，;

　　　　 当时，.

　　　　 因此, 当时，所以且

即故或反之, 当或时，

总可找到使函数在区间上单调递减.

综上所述, 的取值范围是.