11．(山东20)(本小题满分12分)

将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．

(Ⅰ)证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ)上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．

(Ⅰ)证明：由已知，当时，，

又，

所以，

即，

所以，

又．

所以数列是首项为1，公差为的等差数列．

由上可知，

即．

所以当时，．

因此

(Ⅱ)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．

因为，

所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，

故在表中第13行第三列，

因此．

又，

所以．

记表中第行所有项的和为，

则．

10．(全国Ⅱ18)(本小题满分12分)

等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．

解：设数列的公差为，则

，

，

．····························································································· 3分

由成等比数列得，

即，

整理得，

解得或．····································································································· 7分

当时，．·················································································· 9分

当时，，

于是．······················································ 12分

9．(全国Ⅰ19)(本小题满分12分)

在数列中，，．

(Ⅰ)设．证明：数列是等差数列；

(Ⅱ)求数列的前项和．

解：(1)，

，

，

则为等差数列，，

，．

(2)

两式相减，得

．

8．(辽宁20)(本小题满分12分)

在数列，是各项均为正数的等比数列，设．

(Ⅰ)数列是否为等比数列？证明你的结论；

(Ⅱ)设数列，的前项和分别为，．若，，求数列的前项和．

解：(Ⅰ)是等比数列．························································································· 2分

证明：设的公比为，的公比为，则

，故为等比数列．············································ 5分

(Ⅱ)数列和分别是公差为和的等差数列．

由条件得，即

．····················································································· 7分

故对，，…，

．

于是

将代入得，，．································································· 10分

从而有．

所以数列的前项和为

．······················································································ 12分

7．(湖南20)数列满足

(I)求，并求数列的通项公式；

(II)设，，，

求使的所有k的值，并说明理由。

解：(I)因为所以

　　　　 一般地, 当时，

　　　　 即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，

　　　　 因此

当时，

　　　　 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此

　　　　 故数列的通项公式为

　 (II)由(I)知，

于是.

下面证明: 当时，事实上, 当时，

即

又所以当时，

故满足的所有k的值为3,4,5.

6．(江西19)等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且 ．

(1)求与；

(2)求和：．

(1)设的公差为，的公比为，则为正整数，

，　　　

依题意有①

解得或(舍去)　　　

故

(2)　

∴

5．(江苏19)(16分)

(1)设是各项均不为零的等差数列()，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：

①当时，求的数值；②求的所有可能值；

(2)求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。

[解析]：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。

(1)①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。

　　 若删去，则，即化简得，得

若删去，则，即化简得，得

综上，得或。

②当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。

若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；

当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)

综上所述，。

(2)假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中()为任意三项成等比数列，则，即，化简得　 (*)

由知，与同时为0或同时不为0

当与同时为0时，有与题设矛盾。

故与同时不为0，所以由(*)得

因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。

于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。

例如n项数列1，，，……，满足要求。

4．(广东21)(本小题满分14分)

设数列{a_n}满足a₁=1,a₂=2,a_n=(a_n-1+2a_n-2)(n=3,4,…)，数列{b_n}满足b₁=1,b_n(n=2,3,…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1b_m+b_m+1+…+b_m+11.

(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2) 记c_n=na_nb_n(n=1,2,…)，求数列{c_n}的前n项和S_n.

解：(1)由得　 　　

　　　　　 又 ，

　　　　 数列是首项为1公比为的等比数列，

　　　　　　 ，

　　 由　　　 得　 　，由　　 得　 　，…

　　 同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；

　　　 当n为奇数时，

　　 当n为偶数时，

令　　 ……①

①×得:　 　　……②

①-②得:　

3．(福建20)(本小题满分12分)

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点()(nN*)在函数y=x²+1的图象上.

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若列数{b_n}满足b₁=1,b_n+1=b_n+，求证：b_n ·b_n+2＜b²_n+1.

解法一：

(Ⅰ)由已知得a_n+1=a_n+1、即a_n+1-a_n=1，又a₁=1,

所以数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列.

故a_n=1+(a-1)×1=n.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：a_n=n从而b_n+1-b_n=2ⁿ.

b_n=(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+­­­­­­­­­­­···+(b₂-b₁)+b₁

=2^n-1+2^n-2+···+2+1

＝=2ⁿ-1.

因为b_n·b_n+2-b=(2ⁿ-1)(2ⁿ⁺²-1)-(2^n-1-1)²

=(2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1)-(2²ⁿ⁺²-2-2ⁿ⁺¹-1)

=-5·2ⁿ+4·2ⁿ

=-2ⁿ＜0,

所以b_n·b_n+2＜b,

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)因为b₂=1,

b_n·b_n+2- b=(b_n+1-2ⁿ)(b_n+1+2ⁿ⁺¹)- b

　　　　　　 =2ⁿ⁺¹·b_n-1-2ⁿ·b_n+1-2ⁿ·2ⁿ⁺¹

＝2ⁿ(b_n+1-2ⁿ⁺¹)

=2ⁿ(b_n+2ⁿ-2ⁿ⁺¹)

=2ⁿ(b_n-2ⁿ)

=…

=2ⁿ(b₁-2)

=-2ⁿ〈0，

所以b_n-b_n+2<b²_n+1

2．(北京20)(本小题共13分)

数列满足，()，是常数．

(Ⅰ)当时，求及的值；

(Ⅱ)数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

(Ⅲ)求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．

解：(Ⅰ)由于，且．

所以当时，得，

故．

从而．

(Ⅱ)数列不可能为等差数列，证明如下：

由，得

，，．

若存在，使为等差数列，则，即，

解得．

于是，．

这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．

(Ⅲ)记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，．

所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．

因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，

记，则满足

．

故的取值范围是．