20． 解(Ⅰ)

令，得或2.

∵函数有极大值32，

　在时取得极大值.　 解得

当时，当时，

在时，有极大值32. 时函数有极大值32. ……7分

(Ⅱ)由得或

　∴函数的单调增区间是(－；单调减区间是(

20．(本题满分12分)已知实数a≠0，函数有极大值32.

(1)求实数的值；

(2)求函数的单调区间.

22．(14分)已知数列的前项和满足。

　　　　 (1)写出数列的前三项；

　　　　 (2)求数列的通项公式；

　　　　 (3)证明：对任意的整数，有。

21．(12分)已知、分别是椭圆的左、右焦点。

　　　　 (I)若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；

　　　　 (II)设过定点M(0，2)的直线与椭圆交于同的两点A、B，且为锐角(其中O伟坐标原点)，求直线的斜率的取值范围。高☆考♂资♀源?网　　 ☆

20．(12分)已知

　　　　 (I)若，求的单调区间和极值；

　　　　 (II)已知是的两个不同的极值点，且，若

　　　　 恒成立，求实数b的取值范围。

22．(本小题满分14分)

(文科)在数列

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若m为正整数，当

解：(I)由变形得：

故数列是以为首项，1为公差的等差数列　　　　　　　　 (5分)

　 (II)(法一)由(I)得

(7分)

令

当

又

则为递减数列。

当m=n时，

递减数列。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

要证：时，

故原不等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

(法二)由(I)得

　　 (7分)

令

上单调递减。(9分)

也即证，

故原不等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

(理科)已知数列中，，当时，其前项和满足，

(1)　　　 求的表达式及的值；

(2)　　　 求数列的通项公式；

(3)　　　 设，求证：当且时，。

解：(1)

所以是等差数列。则。。

(2)当时，，综上，。

(3)令，当时，有　　　　 (1)

法1：等价于求证。

当时，令

，则在递增。

又，所以即。

法(2)

　　　　　　　　　　　　　　 (2)

　　　　 (3)

因

所以

由(1)(3)(4)知。

法3：令，则

所以

因则　　

所以　　 (5)　　 由(1)(2)(5)知

21．(本小题满分12分)

(文科)已知函数和的图象关于原点对称，且．

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

(Ⅱ)由

当时，，此时不等式无解。

当时，，解得。

因此，原不等式的解集为。

(Ⅲ)

①　　

②

ⅰ)

ⅱ)　　　

(理科)设函数在上是增函数。

(1)　　　 求正实数的取值范围；

(2)　　　 设，求证：

解：(1)对恒成立，

对恒成立　　 又　 为所求。…………5分

(2)取，，

一方面，由(1)知在上是增函数，

即……………………………………8分

另一方面，设函数　

∴在上是增函数且在处连续，又

∴当时，

∴　　　 即

综上所述，………………………………………………12分

20．(本小题满分12分)

已知抛物线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线.

(Ⅰ)求抛物线的方程及准线方程；

(Ⅱ)当直线与抛物线相切时，求直线的方程

(Ⅲ)设直线分别交抛物线于B，C两点(均不与A重合)，若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程.

解：(Ⅰ)由于A(2,1)在抛物线上， 所以　 ，即.　 ………….2分

　　 故所求抛物线的方程为，其准线方程为. 　 ……………….3分

(Ⅱ)当直线与抛物线相切时，由，可知直线的斜率为1，其倾斜角为，所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，所以的方程为　 …6分

(Ⅲ)不妨设直线AB的方程为，　　 ………………8分

　 由　　　 得,……….10分

　易知该方程有一个根为2，所以另一个根为，

　所以点B的坐标为,

同理可得C点坐标为,　 ……………….11分

所以

,　 　　　　　　　　　　 　　　……………….9分

线段BC的中点为，因为以BC为直径的圆与准线相切，

所以　 ,由于，　 解得　 .　 …………….10分

此时，点B的坐标为，点C的坐标为，

　直线BC的斜率为，

所以，BC的方程为，即.　 …….12分

21．(本小题满分14分)

已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有(为大于1的常数)，记．

(1) 求；

(2) 试比较与的大小()；

(3) 求证：，()．

解：(1) ∵，　　　　　　　　　　　　　　 ①

∴．　　　　　　　　　　　 ②

②－①，得

，

即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

在①中令，可得．

∴是首项为，公比为的等比数列，．　　　　　　　　　　　 (4分)

(2) 由(1)可得

．

．

∴，　　　　　　　　　　　　　 (5分)

．

而，且，

∴，．

∴，()．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

(3) 由(2)知 ，，()．

∴当时，．

∴

，　　　　　　　　　　　　　　　 (10分)

(当且仅当时取等号)．

另一方面，当，时，

．

∵，∴．

∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (13分)

(当且仅当时取等号)．

∴．

(当且仅当时取等号)．

综上所述，，()．(14分)

(19)(本小题满分13分)

　　 如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。

　　 (I)求证：；

　　 (II)若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；

　　 (III)在(II)的条件下，直线过点A(0，1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明。

解：(I)

　　 右准线，渐近线

　　

　　

　　

　　 　　　　　　　　　　　 ……3分

　　 (II)

　　

　　 双曲线C的方程为：　　　　　 　　　　　　　　 　　　 ……7分

　　 (III)由题意可得　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　 ……8分

　　 证明：设，点

　　 由得

　　 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

　　

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　……11分

　　 ，得

　　

　　

　　

的取值范围是(0，1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 ……13分

　 (20)(本小题满分13分)

　　 已知函数，数列满足

　　 (I)求数列的通项公式；

　　 (II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；

　　 (III)在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。

　　 (IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。

解：(I)

　　

　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　……1分

　　

　　 ……

　　

　　 将这n个式子相加，得

　　

　　

　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 ……3分

　　 (II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1

　　

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　　 (III)设满足条件的正整数N存在，则

　　

　　 又

　　 均满足条件

　　 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。

　　 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得

　　 中满足条件的正整数N存在，共有495个，　　　　　　 ……9分

　　 (IV)设，即

　　 则

　　 显然，其极限存在，并且　　　　 ……10分

　　 注：(c为非零常数)，等都能使存在。

20．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．

(1) 求双曲线的方程；

(2) 若一过点(为非零常数)的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1) 设双曲线的方程为，

则．

由，得，即．

∴　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

解之得，∴．

∴双曲线的方程为．　　　 (5分)

(2) 设在轴上存在定点，使．

设直线的方程为，．

由，得．

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　　　　　　　 (6分)

∵，

，

∴．

即．　　 ②　　　　　　　 (8分)

把①代入②，得

　　　 ③　　　　　　　 (9分)

把代入并整理得

其中且，即且．

　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (10分)

代入③，得

　 ，

化简得 ．

当时，上式恒成立．

因此，在轴上存在定点，使．　　　　　　　　　　 (12分)