20．解(1)　 ……………………………2分

∴曲线在处的切线方程为，即；…………4分

(2)过点向曲线作切线，设切点为

则

则切线方程为………………………………………………6分

整理得

∵过点可作曲线的三条切线

∴方程(*)有三个不同实数根.

记 令或1.　　 …10分

则的变化情况如下表

		极大		极小

当有极大值有极小值.　　 ………………12分

由的简图知，当且仅当即时，函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.

所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.……

21．已知函数

　　　　 (1)求曲线在点处的切线方程；

　　　　 (2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

20．(本题满分14分)如图，为半圆，AB为半圆直径，

O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已

知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保

持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围.

20解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，?

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.

∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.

∴曲线C的方程为+y2=1.

(2)设直线l的方程为y=kx+2,

代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.

Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞.由图可知=λ

由韦达定理得

将x1=λx2代入得

两式相除得

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

M在D、N中间，∴λ＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合)

综合得：1/3 ≤λ＜1.

19．(本小题满分16分)已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.

(1)求椭圆C和直线l的方程；

(2)记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D．若

曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．

[解](1)由离心率，得，即.　　 ① ………………2分

又点在椭圆上，即. 　　② ………………4分

解 ①②得，

故所求椭圆方程为. 　　　　　…………………6分

由得直线l的方程为. ………8分

(2)曲线，

即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线

上，半径为的动圆.　　 　　　　　　　　　　　　　　　………………… 10分

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.

设与直线l相切于点T，则由，得，………………… 12分

当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，

解方程组得.　　　　　　　　　　　 ………………… 14分

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，　

所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，

解得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　………………… 16分

18．(本小题满分15分)某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，

已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个

变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y. (1)设，把y表示成的函数关系式；

(2)变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

[解](1)在中，所以=OA=.

所以由题意知.　　　 ……………………2分

　所以点P到A、B、C的距离之和为

　. 　……………………6分

故所求函数关系式为.　　　　 ……………………7分

(2)由(1)得，令即，又，从而.　 ……………………9分.当时，；当时, .

所以当 时，取得最小值，　　　　 ………………… 13分

此时(km)，即点P在OA上距O点km处.

[答]变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分

17．(本小题满分15分)设等差数列的前项和为且．

(1)求数列的通项公式及前项和公式；

(2)设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得

成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.

[解](1)设等差数列的公差为d. 由已知得 ……………………2分

即解得……………………4分.故.　 ………6分

(2)由(1)知.要使成等差数列，必须，即，……8分.整理得，　　 …………… 11分

因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.

故存在正整数t，使得成等差数列.　　 ………………… 15分

22. 解：(Ⅰ)　 ①

　　 ②

②-①得　

又时，

--------------------------------4分

(Ⅱ)

　 ③

④

③-④得

整理得：-------------------------8分

(III)

----------------------------------------------------10分

又

-----------------------------------------------------------12分

-----------------------------------------------------------14分

22.已知数列满足：，其中为数列的前项和.

(Ⅰ)试求的通项公式；

(Ⅱ)若数列满足：，试求的前项和公式；

(III)设，数列的前项和为，求证：．

21.解：(Ⅰ)由题意的定义域为

(i)若，则在上恒成立，为其单调递减区间；

(ii)若，则由得，

时，，时，，

所以为其单调递减区间；为其单调递增区间；----------6分

(Ⅱ)

所以的定义域也为，且

令

因为，则，所以为上的单调递增函数，又，所以在区间内至少存在一个变号零点，且也是的变号零点，所以在区间内有极值. --------------------12分

21. 已知关于函数(),，

(Ⅰ)试讨论函数的单调区间；

(Ⅱ)若试证在区间内有极值.