3．2009年广东省广州市高三年级调研测试

设随机变量-B(2,p), -B(4,p),若，则的值为

(A)　 　　　(B) 　　　(C)　　 　　 (D)　 答案：B

2. 设Eξ=10,Eη=3,则E(3ξ+5η)等于(　 )

A.45　　　　　　　　 B.40 　　　　C.30　　　　　 　 D.15

答案:A

1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则(　　　 )

A．4；　B．5；　C．4.5；　D．4.75

答案：C 　

2．有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：

其中ξ_A、ξ_B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好

　 分析： 两个随机变量ξ_A和ξ_B&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξ_A取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξ_B取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性

解：先比较ξ_A与ξ_B的期望值，因为

　　 Eξ_A=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,

　　 　　 Eξ_B=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.

所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为

　　 　　 Dξ_A=(110-125)²×0.1+(120-125) ² ×0.2+(130-125) ²×0.1+(135-125) ²×0.2=50，

　　 　　 Dξ_B=(100-125)²×0.1+(110-125) ² ×0.2+(130-125) ²×0.1+(145-125) ²×0.2=165.

所以，Dξ_A < Dξ_B.因此，A种钢筋质量较好

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1．有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ

分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB(200，1%)，从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算

解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB(200，1%)因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98

2．执信中学2008-2009学年度第一学期高三数学理科试卷

次体能测试中，规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为(假定每次通过率相同)

(1) 求运动员甲参加测试的次数的分布列及数学期望;

(2) 求运动员甲最多参加两次测试的概率(精确到)

　(1)的可能取值为

当时, ;

当时;;

当时,;

当时,; 　的分布列为:　　　

	1	2	3	4
	0.7	0.21	0.063	0.027

(2)

考点二: 离散型随机变量的方差

题型1: 离散型随机变量方差的应用

[例3] (2008湖北卷17).

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个(=1,2,3,4).现从袋中任取一球.表示所取球的标号.

(Ⅰ)求的分布列，期望和方差；

(Ⅱ)若, ,,试求a,b的值.

[解题思路]：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.

　解析： (Ⅰ)的分布列为：

	0	1	2	3	4
P

∴

(Ⅱ)由，得a²×2.75＝11，即又所以

当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;

当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.　　　　　　　　　　　　　　　

∴或即为所求.

　[例4] (安徽卷19)．(本小题满分12分)

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。

(Ⅰ)求n,p的值并写出的分布列；

(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率

[解题思路]：若ξ-B(n，p)，则np(1-p)

解析： (1)由得,

从而

的分布列为

	0	1	2	3	4	5	6

(2)记”需要补种沙柳”为事件A,　 则　 得

　 　或

[名师指引]

⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ-B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．

⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和

，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

[新题导练]

1．广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考(数学理)

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。

　 (Ⅰ)所选3人中至少有1名女生的概率；

　 (Ⅱ)设随机变量表示所选3人中的女生人数。写出的分布列并求出的数学期望。

解析：(Ⅰ)设所选三人中至少有1名女生的事件为A

P(A)=

(Ⅱ)ξ可能取的值为0，1，2，　 分

P(ξ=k)=　 k=0，1，2　

ξ的分布列为

ξ　 0　　 1　　 2

P　 　　　　　

∴Eξ=

3.重难点：.

(1) 期望的一个性质:

点拨：若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξ	x1	x2	…	xn	…
η			…		…
P	p1	p2	…	pn	…

于是……

　　　 ＝……)……)

　　　 ＝，

(2)若ξB(n,p)，则Eξ=np

点拨：∵　，

∴　0×+1×+2×+…+k×+…+n×．

又∵　 ，

　 ∴　 ++…++…+．

故　若ξ-B(n，p)，则np．

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一：离散型随机变量的期望

题型1. 离散型随机变量的期望的应用

[例1] 广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 (数学理)

旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.

　 (Ⅰ)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；

　 (Ⅱ)求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.

[解题思路]： 先求分布列, 再用公式求期望.

解析：(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P₁=……4分

　 (2)设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3………………5分

　　 P(ξ=0)=　　　 P(ξ=1)=　　　　

　　 P(ξ=2)= 　　　P(ξ=3)= ………………9分

　　 ∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

………………10分

∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=………………12分

[例2] 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望

[解题思路]：利用二项分布的随机变量的期望Eξ=np

解析：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B(20,0.9),,

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

[名师指引](1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ 　公式E(aξ+b)= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np

[新题导练]

2.难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题

1.重点：了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望方差、或标准差．