9．(2010·合肥第一次质检)设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：

①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；

②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；

③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；

④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.

上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

解析：由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线，所以③错，④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交可能平行，故填①②.

答案：①②

8．设直线m与平面α相交但不垂直，给出以下说法：

①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；

②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；

③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；

④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．

其中错误的是________．

解析：因为直线m是平面α的斜线，在平面α内，只要和直线m的射影垂直的直线都和m垂直，所以①错误；②正确；③错误，设b⊂α，b⊥m，c∥b，c⊄α，则c∥α，c⊥m；④错误，如正方体AC₁中，m是直线BC₁，平面ABCD是α，则平面ADD₁A₁既与α垂直，又与m平行．

答案：①③④

7.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有__________(填序号)

①平面ABC⊥平面ABD

②平面ABD⊥平面BCD

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．

答案：③

6.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　)

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

解析：∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴A不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴D正确．

答案：D

5．(2010·陕西宝鸡)设a，b，c是空间不重合的三条直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是(　)

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β

B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

解析：当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β.

答案：B

4．(2010·山东济南)设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，下列命题中不正确的是(　)

A.⇒a⊥β 　　　　　　　　　　　　　　 　B.⇒a⊥b

C.⇒c∥α 　　　　　　　　　　　　 D.⇒b⊥α

解析：经判断可知，选项A、B、C均正确．对于选项D，与直线a垂直的直线有无数多条，这些直线与平面α的关系也可能是平行的，如正方体的上底面的两条相邻棱互相垂直，但这两条棱与下底面的关系是平行而不是垂直．

答案：D

3.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是(　)

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

解析：因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．

答案：D

2．已知直线a⊂平面α，直线AO⊥α，垂足为O，AP∩α＝P，若条件p：直线OP不垂直于直线a，条件q：直线AP不垂直于直线a，则条件p是条件q的(　)

A．充分不必要条件　 　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

解析：直线OP⊥直线a⇔直线AP⊥直线a，即^┐p⇔^┐q，则p⇔q.

答案：C

1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是(　)

A．l∥m，l⊥α　　　　　 B．l⊥m，l⊥α

C．l⊥m，l∥α　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　 D．l∥m，l∥α

解析：设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.

答案：C

12．过点M(0,1)作直线，使它被两直线l₁：x－3y+10＝0，l₂：2x+y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．

解：法一：过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是和(0,8)，显然不满足中点是点M(0,1)的条件．

故可设所求直线方程为y＝kx+1，与两已知直线l₁，l₂分别交于A、B两点，联立方程组

①

②

由①解得x_A＝，由②解得x_B＝.

∵点M平分线段AB，

∴x_A+x_B＝2x_M，即+＝0.

解得k＝－，故所求直线方程为x+4y－4＝0.

法二：设所求直线与已知直线l₁，l₂分别交于A、B两点．

∵点B在直线l₂：2x+y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)．

又M(0,1)是AB的中点，

由中点坐标公式，得A(－t,2t－6)．

∵A点在直线l₁：x－3y+10＝0上，

∴(－t)－3(2t－6)+10＝0，解得t＝4.

∴B(4,0)，A(－4,2)，故所求直线方程为x+4y－4＝0.