2．填空:(1)方程kx²+4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝　　　　 ．

(2)方程2x²－x－4＝0的两根为α，β，则α²+β²＝　　　　 ．

(3)方程2x²+2x－1＝0的两根为x₁和x₂，则| x₁－x₂|＝　　　 ．

1.选择

(1)已知关于x的方程x²+kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是(　 )

(A)－3　　 (B)3　　　 (C)－2　　　 (D)2

(2)下列四个说法：

①方程x²+2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x²－2x+7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x²－7＝0的两根之和为0，两根之积为；

④方程3 x²+2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是　　　　 (　 )　　　　　　　　　　　

　(A)1个　　 (B)2个　 　(C)3个　　 (D)4个

(3)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x²－8x+7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于(　 )

　 (A)　　　　　 (B)3　　　　　 (C)6　　　　　 (D)9

(4)若x₁，x₂是方程2x²－4x+1＝0的两个根，则的值为　　　　　 (　　 )

　 (A)6　　　　　　 (B)4　　　 　　(C)3　　　　　 (D)

例1　 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例2　 已知关于x的方程x²+2(m－2)x+m²+4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

例3 　已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

推论1：

以两个数x₁，x₂为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x²－(x₁+x₂)x+x₁·x₂＝0．

练习：以－3和1为根的一元二次方程是　　　　　　　　　　　　　　 ．

例4 　若x₁和x₂分别是一元二次方程2x²+5x－3＝0的两根．

　　　 (1)求| x₁－x₂|的值；　 　(2)求的值；　　　 (3)x₁³+x₂³．

练习：(1)若方程x²－3x－1＝0的两根分别是x₁和x₂，则＝　　　　 ．

(2)已知方程x²－3x－1＝0的两根为x₁和x₂，求(x₁－3)( x₂－3)的值．

推论2：

若x₁和x₂分别是一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)，则| x₁－x₂|＝(其中Δ＝b²－4ac)．

例5　 若关于x的一元二次方程x²－x+a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

如果ax²+bx+c＝0(a≠0)的两根分别是x₁，x₂，那么x₁+x₂=_______;x₁·x₂＝_______．

这一关系也被称为韦达定理

　　　 证明：

(1)方程的根的情况是　　　　　　　　　 　

(2)若关于x的方程mx²+ (2m+1)x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 (　 )　

(A)m＜　 　　　(B)m＞－　 (C)m＜，且m≠0　 　(D)m＞－，且m≠0

3.2　 根与系数的关系(韦达定理)

对于一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)，有

(1) 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根　　 x_1，2＝；

(2) 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根　　　 　x₁＝x₂＝－；

(3) 当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1　 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根．(1)x²－3x+3＝0；　　 　　　(2)x²－ax－1＝0；　

(3) x²－ax+(a－1)＝0；　 (4)x²－2x+a＝0．

练习:1、a为何值时方程(1)有实数根？(2)没有实数根？

2、解方程

(1)　　　　　　　　　　 (2)

我们知道，对于一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)，用配方法可以将其变形为

　　　 ．　　　　　　 ①

一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)的根的情况可以由b²－4ac来判定，我们把b²－4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

3.1　 一元二次方程及根的判别式

4．解下列方程：　　　　

第三节　 一元二次方程

3．分解因式：⑴x²+x－(a²－a)　　　　　　 ⑵