10．给出下列说法：

①函数的图象关于原点成中心对称；

②函数的图象关于y轴成轴对称；

③函数在上是减函数.

其中正确说法的个数是(　 )

A．0　　　　　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　　 D．3

9．函数是幂函数，且时为减函数，则实数m的值为(　 )

A．或2　　　　　　　　 B．　　　 C．　　　　　　　　　 D．

8．图中曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n取四个值，则相应曲线的n值依次为(　 )

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　　 D．

7．的图象是( B )

6．当时，下列函数的图象全在直线下方的偶函数是(　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

5．如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较0,,1的大小(　 )

A．

B．

C．

D．

4．下列函数中是幂函数的为(　 )

①(a、m为非零常数，且)；②；③；④

A．①③④　　　　　　　　 B．③　　　　　　　　 C．③④　　　　　 D．全不是

3．在函数y＝，y＝2x³，y＝x²+x，y＝1中，幂函数有(　)

　　　　　 A．0个　　　　　　　　　　　 B．1个　　　　　　　　　　　 C．2个　　　　　　　　　　　 D．3个

1．使x²＞x³成立的x的取值范围是(　)

　　　　　 A．x＜1且x≠0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．0＜x＜1

　　　　　 C．x＞1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．x＜1

　2．若四个幂函数y＝，y＝，y＝，y＝在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是(　)

　　　　　 A．d＞c＞b＞a

　　　　　 B．a＞b＞c＞d

　　　　　 C．d＞c＞a＞b

　　　　　 D．a＞b＞d＞c

［考题1］作出函数的图象，并指出此函数的定义域、值域，若此函数的图象是中心对称图形，则指出它的对称中心的坐标。

［解析］

则可以看做是将函数的图象向右平移一个单位后再向上平移2个单位，如图。

定义域为

值域为

对称中心为.

［点评］对于函数，它的图象是双曲线，它的两条渐近线方程分别为，对称中心为这个结论非常有价值，例如，我们要作的图象，两条渐近线，再用一点确定双曲线的位置即可作出的草图。

［考题2］(1)在如图所示的函数图象中，表示的是(　 )

［解析］函数是奇函数，图象在第一、三象限，且，所以在第一象限的图象向上凸，故选C。

(2)如图，幂函数在第一象限内的图象，已知取四个值，则相应于曲线的依次为(　 )

A．　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　 D．

［分析］根据幂函数在第一象限内的图象特征，在区间上，当时，越大，的增长速度就越快，所以的的.在区间上，当，越大，图象越陡峭。所以的，的.故选B。

(3)如图所示是函数的图象，则(　 )

A．是奇数，且　　　　　　　　　　　

B．是偶数，是奇数，且

C．是偶数，是奇数，且　

D．是偶数，是奇数，且

分析：由图象在第一象限的特点，知又由函数图象关于轴对称，知是偶函数，所以是偶数，是奇数。故选C。

［考题3］已知函数为偶函数，且

(1)求的值，并确定的解析式；

(2)若，是否存在实数，使在区间[2,3]上为增函数。

［分析］问题的解决往往依赖于对条件或结论的转化，对于(1)，应首先转化较为复杂的条件，如果从偶函数的角度开始转化，不论是用偶函数的定义还是用幂函数中的偶函数，都难以找到进一步转化的途径，但从入手，就不难把转化继续进行下去，对于(2)，对于(1)中没有附加的条件，因而可以利用(1)的结论转化(2)的附加条件，并利用单调函数的性质使问题得到解决。

［解析］(1)由得

∵在上为减函数，

∴

∵，∴或

当时，；

当时，

而为偶函数，∴，此时

(2)假设存在实数，使在区间上为增函数。

则由与存在，得

令，则开口向上，对称轴

∴当,为增函数，又由在区间上为增函数，得，∴

［点评］该题亦可分两种情况讨论求解。

［考题4］(1)求下列函数的定义域和值域。

①；②

［解析］①的定义域为实数集，值域为.

②的定义域为，值域为

(2)函数的定义域是全体实数，则实数的取值范围是(　 )

A．　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

［解析］函数有意义的条件是

因此，要使函数的定义域为全体实数，需满足对一切实数都成立。

即解得

∴选B。

［点评］幂函数的定义域和值域也是与的取值密切相关，的正负和分母的奇偶都是制约的取值范围的因素，因此要具体情况具体分析，或结合图象的位置与形状加以考虑。

［考题5］已知函数；

(1)证明：是奇函数，并求的单调区间；

(2)分别计算和的值，由此概括出涉及函数和对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明。

［解析］(1)函数定义域为，

∵

∴为奇函数，

设，则

∴在上是增函数，又是奇函数.

∴在上也是增函数.

故在和上单调递增.

(2)解：

猜想：

∵

，

∴等式成立。

［考题6］比较下列各组数的大小；

(1)和；(2)和

(3)和

［解析］第(1)组可利用的单调性比较，第(2)组可利用的单调性比较，第(3)组可利用的单调性比较。

(1)函数在上为减函数，又，所以

(2)，函数在上为增函数，又，则，从而

(3)；；

所以

［点评］比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数。

［考题7］若，试求的取值范围。

［分析］由函数的图象及单调性可解.

［解析］

∴或或

解得或

［点评］考虑要全面，谨防考虑不周导致误解。

［考题8］若

求证：(1)；

(2)

［证明］(1)

∴

(2)∵

∴

［点评］本题即凸凹函数的一个重要性质，从图形上可体现出来.

［考题9］某工厂从1949年的年产值100万元增加到40年后1989年的500万元，如果每年年增长率相同，则每年年产值增长率是多少？

［解析］自然对数是以为底的对数，本题中增长率，可用自然对数的近似公式，取来计算。

解法一：设每年年产值增长率为，

根据题意，有，即

两边取自然对数，得

又

利用已知条件

得

解法二：同解法一，列出关系式，即，两边取常用对数，得

∴

由换底公式，得

由已知条件得

答：每年的年产值增长率为4%。

［点评］若没有条件，可用计算器直接计算。