⒈设A＝{1，2，3，4，5}，B＝{6，7，8}，从集合A到集合B的映射中，满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)的映射有(　　　)

　A．16个　　　　B．14个　　　　C．12个　　　D．8个

⒉已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素是A中元素在映射f：A→B下的象，且对任意的，在B中和它对应元素是{}，则集合B中的

　元素的个数是(　　　)　

　A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7

3．用二分法求零点的近似值的步骤：

第1步：确定区间，验证<0，给定精确度；

第2步：求区间的中点；

第3步：计算；

(1)若，则就是函数的零点；

(2)若，则令[此时零点]；

(3)若，则令[此时零点].

第4步：判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值(或)；否则重复(2)-(4)。

2．零点判断法

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。

1．方程的根与函数的零点：方程有实数根函数的图象与轴有交点有零点.

2．用函数与方程的思想解题

［例1］利用计算器，求方程的一个近似解(精确到0.1).

［解析］设，先画出函数图象的草图，如图的示.

因为

所以在区间上，方程有一解，记为

取2与3的平均数2.5

因为，所以

再取2与2.5的平均数2.25

因为，所以

如此继续下去，得

因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为

利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解。

［点评］利用函数图象的性质求方程的根，这是因为若，且在内单调，则必存在一个，使成立。

1．数形结合的思想

数形结合的思想是本章重要的数学思想。

［例1］某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量(件)与销售单价(元/件)可近似看作一次函数的关系(如图所示)。

(1)根据图象，求一次函数的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价－成本总价)为S元。①试用销售单价表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？

［解析］(1)由图象知，当时，；当时，，代入中，得

解得

∴

(2)销售总价=销售单价×销售量=，成本总价=成本单价×销售量=500，代入求毛利润的公式，得

∴当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件。

［点评］数形结合有两类题型，一类是函数关系是由图形给出的，另一类是函数关系是一种定性的变化关系，反映在图形上又是怎样的要能正确判断。

6、分段函数问题；

［考题1］“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过1000元部分需征税，设全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为全月总收入－1000元，税率见下表：

级数	全月应纳税所得额	税率
1	不超过500元部分	5%
2	超过500元至2000元部分	10%
3	超过2000元至5000元部分	15%
…	…	…45%
9	超过100000元部分

(1)若应纳税额为，试用分段函数表示1-3级纳税额的计算公式.

(2)某人2000年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？

［解析］(1)依税率表，有

第一级：

第二级：

第三级：

即

(2)这个人10月份纳税所得额

答：这个人10月份应缴纳个人所得税355元。

［点评］本题实际上是用表格形式给出的一个分段的一次函数，要注意这个分段函数中的不同取值范围.

［考题2］某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元).

(1)若该公司的年产量为(单位：百件)时，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年产量的函数.

(2)当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？

［解析］(1)当时，产品全部出售，当时，产品只能出售500件.

∴

(2)当时，

∴当时，有最大值

当时，为单调减函数，∴

又∵，∴，此时(件)，

∴当年产量为475件时，利润最大.

［点评］求分段函数的最值和值域时，应先分段分别求其最值和值域，再以各段的最大值和最大者为函数的最大值，各段的最小值中最小者为函数的最小值；而各段的值域的并集则是函数的值域。

第三章 单元知识梳理与能力整合

5．比较函数模型的增长趋势

比较函数模型的增长趋势一般有两条途径：(1)不等式的方法，即作差比较或解不等式；(2)结合函数的图象，数形结合的方法。

［例］为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间(分)与通话费(元)的关系如图所示.

(1)分别求出通话费、与通话时间之间的函数关系式；

(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡比较使用.

［分析］由图形可知，函数关系是线性关系，因此，可以用一次函数解决实际问题.

［解］(1)由图象可设，把点、分别代入所设两函数式中得

∴

(2)令，即，即

当时，，两种卡收费一致；

当时，，即“如意卡”便宜；

当时，，即“便民卡”便宜.

［点评］使用哪种电话卡使用属于最优化问题，常借助于函数的图象、函数的最值去解决.

4．数学模型为对数函数的问题

形如(且)的函数叫做对数函数，时，此函数为增函数；时，此函数为减函数，虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算。

［例］在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(m/s)和燃料的质量(kg)、火箭(除燃料外)的质量(kg)的关系当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s？

［解］由，即，利用计算器算得

［例］某城市现有人口100万，如果20年后该城市人口总数不超过120万，年自然增长率应控制在多少以内？

［解］设年自然增长率为，依题意有：

由计算器计算得%。

答：年自然增长率应控制在0.9%以内。