6、已知正数x、y满足，则的最小值是　　　　　　　　　　 (　 　)

　　　 A．18　　　　 　B．16　　　　　 　C．8　　　　　 　D．10

5、已知等比数列的各项均为正数，公比，设，，则P与Q的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 　)

A．P > Q 　　 　　　　B．P < Q　　 　　　C．P = Q　　　　 D．无法确定

4、不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　　)

　　　 A．　　 B．　 　　C．　 　　D．

3、已知，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　 　A．　　　　　　 　　　B．

C．　　　　　　　　　 D．

2、函数的定义域为　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　　　　 B．　　　 　　 C．　　　 　　　 D．

1、若，且，则下列不等式一定成立的是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　 B．　 　　 C．　 　　　D．

2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．

典型例题十一

例11 已知，求证：．

分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好．

证明：欲证，

只须证．

即要证，

即要证．

即要证，

即要证．

即要证，即．

即要证　　(*)

∵，∴(*)显然成立，

故

说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件．分析法通常采用“欲证--只要证--即证--已知”的格式．

典型例题十二

例12 如果，，，求证：．

分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能(保持两边项数相同)，由，易得，此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明．

证明：∵

　　　　　　 ．

∴．

说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式而得到的．左右两边都是三项，实质上是公式的连续使用．

如果原题限定，，，则不等式可作如下变形：进一步可得到：．

显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过程．

典型例题十三

例13 已知，，，求证：在三数中，不可能都大于．

分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明．假设命题不成立，则三数都大于，从这个结论出发，进一步去导出矛盾．

证明：假设三数都大于，

即，，．

又∵，，，

∴，，．

∴　　①

又∵，，．

以上三式相加，即得：

　②

显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证．

说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想．

典型例题十四

例14 已知、、都是正数，求证：．

分析：用分析法去找一找证题的突破口．要证原不等式，只需证，即只需证．把变为，问题就解决了．或有分析法的途径，也很容易用综合法的形式写出证明过程．

证法一：要证，

只需证，

即，移项，得．

由、、为正数，得．

∴原不等式成立．

证法二：∵、、为正数，

．

即，故．

，

．

说明：题中给出的，，，，只因为、、都是正数，形式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了．

原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当时取“＝”号．证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题的关键．本题的关键是证明．

典型例题十五

例15 已知，，且．求证：．

分析：记，欲证，联想到正、余弦函数的值域，本题采用三角换元，借助三角函数的变换手段将很方便，由条件，可换元，围绕公式来进行．

证明：令，，且，

则

∵，∴，即成立．

说明：换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘出来，对代换实质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若，可设；(2)若，可设，，；(3)若，可设，，且．

典型例题十六

例16 已知是不等于1的正数，是正整数，求证．

分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式．

证明：∵是不等于1的正数，

∴，

∴．　　①

又．　　②

将式①，②两边分别相乘得

，

∴．

说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利．由特点选方法是解题的关键，这里因为，所以等号不成立，又因为①，②两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果．这也是今后解题中要注意的问题．

典型例题十七

例17 已知，，，，且，求证．

分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效．为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法．

证明：要证，

只需证，

只需证．

∵，，，

∴，，，

∴，

∴成立．

∴．

说明：此题若一味地用分析法去做，难以得到结果．在题中得到只需证后，思路已较清晰，这时改用综合法，是一种好的做法．通过此例可以看出，用分析法寻求不等式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的．

典型例题十八

例18 求证．

分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从下手考查即可．

证明：∵，

∴．

说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻．本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法．这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键．

典型例题十九

例19 在中，角、、的对边分别为，，，若，求证．

分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化．

证明：∵，∴．

由余弦定理得

∴，

∴

　　　　 =

说明：三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理，另外还有面积公式．本题应用知识较为丰富，变形较多．这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养．

2．用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以．

典型例题九

例9 已知，求证．

分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明．

证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数．

∵，

∴可设，，其中．

∴．

由，故．

而，，故．

说明：1．三角代换是最常见的变量代换，当条件为或或时，均可用三角代换．2．用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性．

典型例题十

例10 设是正整数，求证．

分析：要求一个项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．

证明：由，得．

当时，；

当时，

……

当时，．

∴．

说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明．由，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．

2．关于定值问题，一般通过计算证明其值与曲线的点的位置无关，或与直线的斜率无关．为了证明的目的更明确，可通过特殊情况，求出一个常数，猜想出这个定值．不同的设法，可以得到不同的证法．

典型例题十三

例13　已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点，使得是到的距离与的等比中项？

分析：因题设中出现双曲线上点与焦点的距离，故可考虑用双曲线的第二定义解题．

解：设在左半支上存在点，使，由双曲线的第二定义，知

，即．　　①

再由双曲线的第一定义，得

．　　②

由①、②，解得，．

在中，有，

∴．　　　③

利用，从③式得．

解得．

由，得，与已知矛盾．

∴符合条件的点不存在．

说明：

(1)解答探索性命题，一般可先设点存在，再利用已知条件探求．若得出矛盾，则说明点不存在；否则，便得到点的位置．

(2) 是双曲线左支上存在点，使成立的充要条件．

典型例题十四

例14　直线与双曲线的左支相交于，两点，设过点和中点的直线在轴上的截距为，求的取值范围．

分析：首先应写出直线的方程，因此需求出的中点坐标，将直线与双曲线方程联立，消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得到中点的坐标表达式．

解：由方程组消去得

．　　　①

设、，中点的坐标为．

∵直线与双曲线的左支相交于，两点，

∴方程①有两个不大于-1的不等实根．

令，则

解得，

，．

∴直线的方程是

令，得．

∵，

∴或．

说明：

(1)涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的讨论问题，是必不可少的条件．

(2)关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑，同时要考虑方程根的取值范围，以下以双曲线为例作简单说明．

关于的一元二次方程．

①若直线与双曲线右支相交于不同两点，则其充要条件是

②若直线与双曲线左支相交于不同两点，则其充要条件是

③若直线与双曲线不同两支交于两点，则其充要条件是

典型例题十五

例15　已知，是过点的两条互相垂直的直线，且，与双曲线各有，和，两个交点．

(1)求的斜率的取值范围；

(2)若，求，的方程；

(3)若恰是双曲线的一个顶点，求的值．

分析：第(1)小题利用直线，与双曲线都有两个交点，从而可以转化为一元二次方程有两个不等实根，判别式大于零，由此可以得到满足的不等式组；

第(2)小题利用弦长公式求，再由点斜式方程求出直线方程；

第(3)小题利用直线过点求，再由弦长公式求．

解：(1)依题意，直线，的斜率都存在，设的方程为直线的方程为，且．

由方程组消去，整理得

　　　①

若，则方程①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾．

故，即．

∵直线与双曲线有两个不同交点，

∴．

由方程组消去，整理得

　　②

同理，．

所以，与双曲线各有两个交点，等价于

解得

∴．

(2)设，；由方程①可得

，．

∴　③

同理，由方程②可得

．　　④

∵，代入④得

．　　⑤

由，得

．

将式③和式⑤代入得

．

解得．

当时，，；

当时，，．

(3)双曲线的顶点为，．

取时，有，解得，于是．

将代入方程②得

．

设与双曲线的两个交点，，则

，．

则

．

∴．

当取时，由双曲线关于轴对称，知．

说明：

(1)直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量(或)得到关于变量(或)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：

直线与双曲线相交于两个点；

直线与双曲线相交于一个点；

直线与双曲线无交点．

若得到关于(或)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．

(2)直线被双曲线截得的弦长或，其中是直线的斜率，，是直线与双曲线的两个交点，的坐标，且

，，可由韦达定理整体给出．

典型例题十六

例16 已知双曲线的渐近线方程是，，求双曲线的离心率．

分析：由渐近线的斜率与，的关系得到，的关系，从而求出．

解：(1)设双曲线方程为．

∵渐近线方程为，，

∴．

又∵，

∴．∴．

(2)设双曲线方程为．

∵渐近线方程为，，

∴．

∵，∴，．

∴离心率或．

说明：

(1)必须分两种情况求离心率，共渐近线的双曲线方程为：的形式，它们的渐近线为．

(2)关于双曲线的渐近线，可作如下小结：

若知双曲线方程为或，则它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；

若知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即的形式，再设出双曲线方程；

；

若焦点在轴上，渐近线斜率为虚轴长比实轴长；若焦点在轴上，渐近线斜率为实轴长比虚轴长．

典型例题十七

例17 已知双曲线的两条渐近线过坐标原点，且与以为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点和关于直线对称，设直线过点，斜率为．

(1)求双曲线的方程；

(2)当时，在双曲线的上支求点，使其与直线的距离为；

(3)当时，若双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，求斜率的值及相应的点的坐标．

分析：本题考查的内容多，其中有直线与圆相切，关于直线的对称点，双曲线的性质，点到直线的距离等等，如果采取各个击破的办法，那么问题便能解决．

解：(1)由已知得双曲线的渐近线为，

因而为等轴双曲线，其中一个顶点为，

所以双曲线的方程为．

(2)若是双曲线的上支上到直线的距离为的点，

则，解得，．故点坐标为．

(3)因为当时，双曲线的上支在直线的上方，所以点在直线的上方．

设直线与直线平行，两线间的距离为，

直线在直线的上方，双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，

等价于直线与双曲线的上支有且只有一个公共点．

设的方程是，由上的点到的距离为，可知，

解得，其中舍去．

由方程及，消去得，．

∵，∴．

令．∵，解得，．

当时，，解得，，∴点的坐标为．

当时，，解得，，∴点的坐标为．

说明：若已知双曲线渐近线方程为，则共渐近线的双曲线方程为，其中为不等于零的常数，另外要善于把问题转化，(3)便是把原题转化为与双曲线上支有且只有一个公共点问题．

典型例题十八

例18 如下图，给出定点和直线，是直线上的动点，的角平分线交于，求点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系．

分析：根据曲线的条件求轨迹方程，是解析几何的手段．要认真分析角平分线这一重要条件，分清主动点与从动点的关系，综合利用所学知识求出点横坐标与纵坐标的关系．

解：依题意，记，，则直线与的方程分别为和，

设点坐标为，则有，

由平分，知点到、距离相等，根据点到直线的距离公式，

得：　　①

依题设，点在直线上，故有．

由，得，　　②

将②式代入①式，得．

整理得：，

若，则．

若，则，，点的坐标为，满足上式．

综上，得点的轨迹方程为：

(1)当时，轨迹方程化为　　③

此时，方程③表示抛物线弧段

(2)当时，轨迹方程为

，其中　　④

∴当时，方程④表示椭圆弧段，当时，方程④表示双曲线一支的弧段．

说明：本题求轨迹问题，要求考生有较高的能力和扎实的基本功，同时要求对问题考虑完整和有较强的运算能力．对字母系数的讨论是高考重点考查的内容．

典型例题十九

例19 已知双曲线的实轴在直线上，由点发出的三束光线射到轴上的点、及坐标原点被轴反射，反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点、和双曲线的中心．若，过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为，求双曲线的方程和入射光线、所在直线的方程．

分析：光线反射的问题，实质上是寻找点关于直线的对称点的问题，而求双曲线方程，实质上是求双曲线中点与、的问题．

解：依题意，设双曲线中心为，又点关于轴的对称点为，所以直线的方程为，与联立，得．

设双曲线方程为，焦点，，右准线，从而的方程为：，

的方程为：．

在上面两式中分别令，则点坐标为，点坐标为，再由，则，∴点坐标为，点坐标为．

在中，令，得，在中，由，得，，所以，所求双曲线方程为．直线的方程为，直线的方程为．

说明：本题关键要掌握中心不在原点的双曲线的焦点坐标，准线方程的求法，通过逆向思维，求出轴上的点、的坐标，从而使问题迎刃而解．

1．本题属定值问题，存在的问题是一方面对定值的概念和求法弄不清楚，摸不出头绪；论另一方面不会运用式子的变换和曲线的定义．