16．(本小题满分10分)已知等差数列{a_n}中，a₂=8，前10项和S₁₀=185．

(1)求通项；

(2)若从数列{a_n}中依次取第2项、第4项、第8项…第2ⁿ项……按原来的顺序组成一个新的数列{b_n}，求数列{b_n}的前n项和T_n．

考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力．

[解](1)设{a_n}公差为d，有

解得a₁=5，d=3

∴a_n=a₁+(n－1)d=3n+2

(2)∵b_n=a=3×2ⁿ+2

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=(3×2¹+2)+(3×2²+2)+…+(3×2ⁿ+2)=3(2¹+2²+…+2ⁿ)+2n=6×2ⁿ+2n－6．

15．(本小题满分8分)已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+a₄=20，a₁，a₂，a₄成等比数列，求集合A={x|x=a_n，n∈N^*且100<x<200}的元素个数及所有这些元素的和．

考查等差、等比数列概念、求和公式及集合基本知识的应用．

[解]设{a_n}公差为d，则a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d

∵a₁、a₂、a₄成等比数列，∴(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)d=a₁．

又∵a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+(a₁+3d)=4a₁+6d=20．

解得：a₁=d=2，∴x=a_n=2+2(n－1)=2n

∴A={x|x=2n，n∈N^*且100<x<200}

∵100<2n<200，∴50<n<100．

∴集合A中元素个数100－50－1=49(个)

由求和公式得：S=×49=7350．

14．每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的，若洗n次后，存在的污垢在1%以下，则n的最小值为_________．

考查把实际问题转化为数学问题的能力．

[解析]每次能洗去污垢的，就是存留了，故洗n次后，还有原来的()ⁿ，由题意，有：()ⁿ<1%，∴4ⁿ>100得n的最小值为4．

[答案]4

13．若{a_n}是递增数列，对于任意自然数n，a_n=n²+λn恒成立，则实数λ的取值范围是_______．

考查数列和不等式基本知识．

[解析]因为{a_n}为递增数列，∴n²+λn>(n－1)²+λ(n－1)(n≥2)

即2n－1>－λ(n≥2)λ>1－2n(n≥2)

要使n∈N^*恒成立，则λ>－3．

[答案]λ>－3

12．已知等差数列lgx₁，lgx₂，…，lgx_n的第r项为s，第s项为r(0<r<s)，则x₁+x₂+…+x_n=_______．

考查数学化归能力．

[解析]

lgx_n+1－lgx_n=－1=．

∴{x_n}为等比数列，且q=．

∴x₁+x₂+…+x_n==．

[答案]

11．在等比数列{a_n}中，已知S_n=3ⁿ+b，则b的值为_______．

考查等比数列求和公式的本质形式．

[解析]a₁=S₁=3+b，n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=2×3^n－1．

a_n为等比数列，∴a₁适合通项，2×3^1－1=3+b，∴b=－1．

[答案]－1

10．若{a_n}的前8项的值各异，且a_n+8=a_n，对于n∈N^*都成立，则下列数列中，可取遍{a_n}前8项的值的数列为(　)

A．{a_2k+1}　　　　　　 　　　　　　 B．{a_3k+1}　　　　　　　　　　　　　　　 C．{a_4k+1}　　　　　　　　　　　　　　　 D．{a_6k+1}

考查数列基本知识及分析问题能力．

[解析]∵k∈N^*，k=1、2、3…

当k=1、2、3…7、8时，a_2k+1均取奇数项，而无偶数项，∴{a_2k+1}不符．

而当k取以上值时，{a_3k+1}可以取遍前8项．

[答案]B

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

9．数列1，1+2，1+2+2²，…，1+2+2²+…+2^n－1，…的前n项和为(　)

A．2ⁿ－n－1　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2ⁿ⁺¹－n－2　　　　　　　 C．2ⁿ D．2ⁿ⁺¹－n

考查一般数列求和的技巧．

[解析]a_n=2ⁿ－1，∴S_n=(2+2²+…+2ⁿ)－n=2ⁿ⁺¹－n－2．

[答案]B

8．在等比数列{a_n}中，已知n∈N^*，且a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ－1，那么a₁²+a₂²+…+a_n²等于(　)

A．4ⁿ－1　　　　　　　　　　　　　 B．(4ⁿ－1)　　　　　　　　　　　 C．(2ⁿ－1)² D．(2ⁿ－1)²

考查等比数列概念、求和．

[解析]由S_n=2ⁿ－1，易求得a_n=2^n－1，a₁=1，q=2，∴{a_n²}是首项为1，公比为4的等比数列，由求和公式易知选B．

[答案]B

7．已知数列{a_n}通项a_n=(n∈N^*)，则数列{a_n}的前30项中最大的项为(　)

A．a₃₀ B．a₁₀ C．a₉ D．a₁

考查数列通项意义及变形能力．

[解析]a_n=1+，∴a₁₀最大．

[答案]B