2.(2x³－)⁷的展开式中常数项是　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.14　　　　　　　　 B.－14　　　　　　　 C.42　　　　　　 D.－42

1．1+4(x－1)+6(x－1)²+4(x－1)³+(x－1)⁴等于　　　　　　　　　 　　 (　　 )

A．(x－1)⁴ B．x⁴ C．(x+1)⁴ D．(x－2)⁴

b²(x₁－x₂)2x+a²(y₁－y₂)2y＝0

\b²x²+a²y²－b²cx＝0…………(3)

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程(3)

故所求点P的轨迹方程为：b²x²+a²y²－b²cx＝0

(2)因为轨迹H的方程可化为：

\M(，)，N( ，－)，F(c，0)，使△MNF为一个正三角形时，则

tan＝＝，即a²＝3b². 由于，

，则1+cosq+sinq＝3 sinq，得q＝arctan

22．(本小题满分14分)

已知各项均为正数的数列，满足：，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，，求，并确定最小正整数，使为整数．

解：(1)条件可化为，因此{}为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以＝…………1°

因a_n>0，由1°式解出a_n＝…………2°

(2)由1°式有S_n+T_n＝

＝

＝

为使S_n+T_n＝为整数，当且仅当为整数.

当n＝1,2时，显然S_n+T_n不为整数，

当n³3时，＝ ＝

\只需＝为整数，因为3n－1与3互质，所以

为9的整数倍.当n＝9时，＝13为整数，故n的最小值为9.

21．(本小题满分12分)

如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)若在的方程中，令，

．

设轨迹的最高点和最低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？

解：如图，(1)设椭圆Q：(a>b>0)

上的点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，又设P点坐标为P(x，y)，则

1°当AB不垂直x轴时，x₁¹x₂，

20．(本小题满分12分)

如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．

(1)求点到面的距离；

(2)求异面直线与所成的角；

(3)求二面角的大小．

解：(1)取BC的中点D，连AD、OD

因为OB＝OC，则OD^BC、AD^BC，\BC^面OAD.

过O点作OH^AD于H，则OH^面ABC，OH的长就

是所求的距离.　 又BC＝2，OD＝

＝，又OA^OB，OA^OC \OA^面OBC，则OA^OD

AD＝＝，在直角三角形OAD中，

有OH＝

(另解：由等体积变换法也可求得答案)

(2)取OA的中点M，连EM、BM，则

EM//AC,ÐBEM是异面直线BE与AC

所成的角，易求得EM＝，BE＝，

BM＝.由余弦定理可求得cosÐBEM＝，

\ÐBEM＝arccos

(3)连CM并延长交AB于F，连OF、EF.

由OC^面OAB，得OC^AB，又OH^面ABC，所以CF^AB，EF^AB，则ÐEFC就是所求的二面角的平面角.

作EG^CF于G，则EG＝OH＝，在Rt△OAB中，OF＝

在Rt△OEF中，EF＝

\sinÐEFG＝\ÐEFG＝arcsin.(或表示为arccos)

注：此题也可用空间向量的方法求解。

19．(本小题满分12分)

在锐角中，角所对的边分别为，已知，

(1)求的值；

(2)若，，求的值．

解：(1)因为锐角△ABC中，A+B+C＝p，，所以cosA＝，则

(2)，则bc＝3。将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中得解得b＝

18．(本小题满分12分)

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求

(1)甲、乙两人都没有中奖的概率；

(2)甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．

解：(1)P₁＝

(2)法一：P₂＝

法二：P₂＝

法三：P₂＝1－

17．(本小题满分12分)

已知函数在与时都取得极值．

(1)求的值及函数的单调区间；

(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围．

解：(1)f(x)＝x³+ax²+bx+c，f¢(x)＝3x²+2ax+b

由f¢()＝，f¢(1)＝3+2a+b＝0得

a＝，b＝－2

f¢(x)＝3x²－x－2＝(3x+2)(x－1)，函数f(x)的单调区间如下表：

x	(－¥，－)	－	(－，1)	1	(1，+¥)
f¢(x)	+	0	－	0	+
f(x)	­	极大值	¯	极小值	­

所以函数f(x)的递增区间是(－¥，－)与(1，+¥)

递减区间是(－，1)

(2)f(x)＝x³－x²－2x+c，xÎ(－1，2)，当x＝－时，f(x)＝+c

为极大值，而f(2)＝2+c，则f(2)＝2+c为最大值。

要使f(x)<c²(xÎ(－1，2))恒成立，只需c²>f(2)＝2+c

解得c<－1或c>2

16．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题(　)

A．的内切圆的圆心必在直线上；

B．的内切圆的圆心必在直线上；

C．的内切圆的圆心必在直线上；

D．的内切圆必通过点．

其中真命题的代号是　　 (A)、(D)　　　　　　　　 (写出所有真命题的代号)．

解：设的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，则|PA|＝|PB|，|F₁A|＝|F₁M|，|F₂B|＝|F₂M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF₁|－|PF₂|＝2a，故|F₁M|－|F₂M|＝2a，而|F₁M|+|F₂M|＝2c，设M点坐标为(x，0)，则由|F₁M|－|F₂M|＝2a可得(x+c)－(c－x)＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。

15．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为　　　　　　　　　　 10　　 ．

解：将正三棱柱沿侧棱CC₁展开，

其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。