26．(命题人：如东中学赵延贵，审题人：刘卫东)

已知，，数列满足，， ．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)当n取何值时，取最大值，并求出最大值；

(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

[解析](1)∵，，，

∴，即．

　　 又，可知对任何，，所以．

　　 ∵，∴是以为首项，公比为的等比数列．

　　 (2)由(I)，可知＝()．

　　 ∴，．

　　 当n＝7时，，；当n<7时，，；当n>7时，，．

∴当n＝7或n＝8时，取最大值，最大值为．

(3)由，得．　　　 (*)

依题意，(*)式对任意恒成立，

　 ①当t＝0时，(*)式显然不成立，因此t＝0不合题意．

　②当t<0时，由，可知()．

　　而当m是偶数时，因此t<0不合题意．

　③当t>0时，由()，

∴，∴()．

　设()，

∵ ＝，

　∴．

　∴的最大值为．所以实数的取值范围是．

25．(命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军)

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y＝x对称．

(1)求双曲线C的方程；　

(2)若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；　

(3)设直线y＝mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M(－2，0)及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围．

[解析](1)设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0．

∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为．　　　　　　　　　

设双曲线C的方程为，∵双曲线C的一个焦点为，

∴．∴双曲线C的方程为．

(2)若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|＝|OF₁|；

若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|＝|QF₁|．

根据双曲线的定义，|TF₂|＝2，所以点T在以F₂为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 ． 　　①

由于点N是线段F₁T的中点，设N(x，y)，T()，

则

代入①并整理，得点N的轨迹方程为 ．

(3)由．令，

直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 上有两个不等实根，

因此．

又AB的中点为，∴直线L的方程为．

令x＝0，得．

∵，∴．

∴故b的取值范围是．

24．(命题人：通州中学陈颖，审题人：羌达勋)

某地区1986年以来人口总数和居民住宅总面积分别按等比数列和等差数列逐年递增．已知1986年底人均住房面积为10，2006年底人均住房面积为20．据此计算：

(1)1996年底人均住房面积超过14，试给出证明；

(2)若人口年平均增长率不超过3﹪，能否确保2008年底人均住房面积比2006年底有所增加？为什么？

[解析](1)设86年底人口总数为a，住宅总面积10a，年人口增长的公比为(即后一年是前一年人口的倍)，年住宅总面积的公差为，则2006年底人均住房面积为，则，故1996年底人均住房面积．

(2)2008年底人均住房面积，

2008年与2006年底人均住房面积之差．

∵，∴只需考虑分子．

∵，∴单调递减．

又，

∴．

∴．

此即表明，2008年底人均住房面积仍超过2006年底人均住房面积．

23．(命题人：通州中学陈颖，审题人：王淦华)

椭圆的两焦点为，(为坐标原点)，P为椭圆上一点， 的斜率分别为和．

(1)求证：；

(2)若△的面积为3，求椭圆方程．

[解析]解法一　 (1) 依题意，

令，则．

∴．∴，所以．

(2)在Rt△中，，

所以．

所以椭圆方程为．

解法二　 (1)令，由题意，得

，　　 ①　 　　　　　．　　　 ②

由①、②，可知 ．

∴，∴．

22．(命题人：海门市悦来中学邢素琴，审题人：董卫平)

设＝(a>0)为奇函数，且_min＝，数列{a_n}与{b_n}满足如下关系：

a₁＝2，，．

　 (1)求f(x)的解析表达式；

(2)证明：当n∈N₊时，有b_n．

[解析](1)由f(x)是奇函数，得 b＝c＝0．

由|f(x)_min|＝，得a＝2，故f(x)＝ ．

(2) ＝，＝＝，

∴＝＝＝…＝．而b₁＝，∴＝．

　当n＝1时，b₁＝，命题成立．　　　　　　　　　　 　　　

当n≥2时，∵2^n－1＝(1+1)^n－1＝1+≥1+＝n，

∴＜，即　 b_n≤．

21．(命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞)

已知函数为实常数．

(1)a在什么范围内时，只有一个公共点？

(2)若上有最小值2，求a的值．

[解析](1)．

①当时，，所以在R上单调增，此时只有一个公共点；

②当时， ．由，得．

在上列表：

	+	0	­­­─	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

因为只有一个公共点，所以或．

所以，得．

综上，，只有一个公共点．

(2)．

由，可知为偶函数，则原题即为在上有最小值2．

设()，则．

①时，，所以在上单调增，所以．

因为在上有最小值2，所以，所以．

②时，，无最小值，不合题意．

③时，，．

(I)时，，所以在上单调减，所以，

此时在上的最小值为，不合．

(II)时，由，得．

在上列表：

				2
	─	0	­­+
	↘	极小值	↗

∴．

综上，的值为．

20．(命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉)

设P为双曲线上除顶点外的任意一点，分别为左右点， 的内切圆交实轴于点M，则值为　　　　　 ．

[解析] 由已知，得 ．

　　 又，．

　　 因此．

19．(命题人：南通一中秦志国)

已知二次函数f(x)＝x²－2x+6，设向量a＝(sinx，2)，b＝(2sinx，)，c＝(cos2x，1)，d＝(1，2)．当x∈[0，π]时，不等式f(a·b)>f(c·d)的解集为___________．

[解析]a·b＝2sin²x+1≥1， c·d＝cos²x+1≥1 ，f(x)图象关于x＝1对称，

∴f(x)在(1，+∞)内单调递增．

由f(a·b)>f(c·d)a·b>c·d，即2sin²x+1>2cos²x+1，

又∵x∈[0，π] ，∴x∈()．故不等式的解集为()．

18．(命题人：南通中学陆玉英，审题人：顾军)

如图，在∠AOB的两边上分别为，

共9个点，连结线段，

如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图

中共有___________对“和睦线”

[解析]一个四边形，有且只有一对“和睦线”，这9个点可组成个四边形，故图中关于60对“和睦线”．

17．(命题人：海安中学游余祥，审题人：王光华)

O为坐标原点，正△OAB中A、B在抛物线上，正△OCD中C、D在抛物线上，则△ OAB与△OCD的面积之比为　　　　　 ．

[解析]设△OAB的边长为，则不妨设，代入，得

；同理，设△OCD的边长为，可得．，．