19. (1) 解:在图4中,

　　　 ∵

　　 　∴,　 , .

　　 ∵,

∴△为等边三角形.　　　　　　　　　　　　　　

∴.　　　　　　 …2分

　　 在图5中,

　　 ∵点为点在平面上的正投影,

∴平面.

∵平面,

∴.

∵,　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　

∴.

∵平面, 平面,

∴平面.

∴为直线与平面所成的角.　　 …4分

在Rt△中, ,

∴.　　

∵,

∴.

∴直线与平面所成的角为.　　　　 …6分　　　　　　

(2) 解:取的中点, 连接,.

∵ ,

∴ .

∵平面,平面,

∴.

∵平面, 平面,

∴平面.

∵平面,

∴.

∴为二面角的平面角.　　　　　 　　　　　　　　　　　…8分

在Rt△中,,

∴,.

在Rt△中,.

在Rt△中，.

∴二面角的大小的余弦值为.　　　　　　　　　　　　　　　 …12分

方法二:

　解:在图4中,

　　　 ∵

　　 　∴,　 , .

　　 ∵,

∴△为等边三角形.　　　　　　　　　　　　　　

∴.　　　　　　 …2分

在图5中,

　∵点为点在平面上的射影,　　　　　　　　　　　　　　 图4

∴平面.

∵平面,

∴.

∵,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴.

∵平面, 平面,

∴平面.　　　　　　　　　　　　　 …4分

连接,

在Rt△和Rt△中,,

∴Rt△Rt△.

∴.

∴.

∴.

在Rt△中，.

∴.

在Rt△中，.　　　　　　　　　　　　　　 　…6分

以点为原点,所在直线为轴,与平行的直线为轴,所在直线为轴,建立空　

间直角坐标系,则,,,,

.

∴,,,.　　

(1)∵,

　 ∴.

　 ∴ 直线与平面所成的角为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …9分　　　　　　

(2) 设平面的法向量为n,

　 由　 得

　 令, 得,.

　 ∴n为平面的一个法向量.　　　　　　　　　　　　　　

　 ∵为平面的一个法向量,

　∴.

　 ∵二面角的平面角为锐角,

　 ∴二面角的平面角的余弦值为.　　　　　　 …12分　

18.解 设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2

表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2

则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

　　, 　.

　据此算得

　,　 　, …………(2分)

　.　　　

　　,　 　, …………(4分)

　.

　(Ⅰ) 所求概率为

　…………(5分)

.

　(Ⅱ) 解法一：

的所有可能值为0，1，2，3，4，且　　

　　,

　　,

　= ,

　　.

　　.

综上知有分布列

	0	1	2	3	4
P	1/36	1/6	13/36	1/3	1/9

　　　　　　　　　　　　…………(10分)

从而，的期望为

(株)…………(12分)

解法二：

分布列的求法同上

令分别表示甲乙两种树成活的株数，则

故有　　　

从而知

17.解：(Ⅰ)，

　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

　…………………………4分

令　

的单调区间为,k∈Z　　．．．．．．．．．．．．．．．6分

(Ⅱ)由得　　　　

　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又为的内角　　　　　

　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

　　　　．．．．．．．．．．．．．10分

　　　．．．．．．．．．．．12分

11. 39．　　 12.．　　 13．4　　 14．　　 15．30　　 16．③

1. B．　 2.A　　 3.D　 4.B　 5.A　 6.A　　 7.C　　 8. A　　 9.D　 10.D

22．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列．

(1)求数列的通项公式；　

(2)设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，和任意正整数，总有

(3)正数数列中，求数列中的最大项．

天津一中2010届高三第五次月考

数学试卷(理)

第I卷

班级　　　　　 　　　姓名　　　　　　 　成绩　　　　　　

_

21．已知椭圆的两个焦点是与，点是椭圆外的动点，满足 。点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足。

(1)设为点的横坐标，证明；

(2)求点的轨迹的方程；

(3)试问：在点的轨迹上，是否存在点，

使的面积为？若存在，求

的正切值；若不存在，请说明理由．

20．已知函数在上为增函数，且，

(1)求的值；

(2)若在上为单调函数，求的取值范围；

(3)设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围。

19.　 如图1，在直角梯形中, ,

　 把△沿对角线折起后如图2所示(点记为点), 点在平面上的正投影 落在线段上,　 连接.

　 (1) 求直线与平面所成的角的大小;

(2)　　 求二面角的大小的余弦值.

　　　　　　 图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图2

18． 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

(1)两种大树各成活1株的概率；

(2)成活的株数的分布列与期望．