1、已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形且AB=1，AA₁=2，点E为CC₁的中点，点F为BD₁中点，求证EF为BD₁和CC₁的公垂线

2、如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90⁰，AC=1，CB=，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线的交点为D，B₁C₁的中点为M，求证：CD⊥平面BDM

3、在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的点，试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F

4、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，BC=a(a>1),PA⊥平面ABCD，PA=1，点Q在BC上，问是否对任意的a>1，都存在Q∈BC使得PQ⊥DQ？证明你的结论。

[答案]3、F为CD的中点

4、a≥2时，存在点Q(1,,0)；当1<a<2时，不存在满足条件的点Q

3.2.2空间线面关系的判定（2）-----空间线面、面面关系

[教学目标]

[教学重点]用向量方法判断空间线面平行与垂直关系

[教学难点]用向量方法判断空间线面平行与垂直关系

[教学过程]

一、复习引入

1、用向量研究空间线面关系，设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论

平  行

垂  直

与

与

与

二、数学运用

例1、 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且AN与AE满足什么数量关系时,平面

证明：以、、为正交基底，建立如图所示空间坐标系，设AN=xAE,AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c，B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c)

=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c)

x

(2a,(-3x+1)b,xc)又平面CDE的一个法向量

NM//平面ECD,

由(-3x+1)b²=0x=

故AE=AE时，平面

例2、在正方体中,E,F分别是BB_1,,CD中点，问过D₁F的任何一个平面是否垂直平面ADE？

分析：只要验证D₁F是否垂直平面ADE即可

证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyz

,

因为所以

所以平面

故D₁F的任何一个平面垂直平面ADE

[另法]（找平面ADE的一个法向量，看是否平行于即可）

设平面ADE的一个法向量=(x,y,z),则，解得x=0,z=-2y, =(0,y,-2y) ∥，所以平面

故D₁F的任何一个平面垂直平面ADE

   例3、四棱锥P-ABCD底面是一直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点(1)求证：BE∥平面PAD；(2)平面EBD是否垂直平面ABCD，证明你的结论

[方法一]原来思路⑴取PD的中点F，FEAB,ABEF是平行四边形，BE∥AF，BE、AF分别在平面PAD外、内，故：BE∥平面PAD

⑵如果平面EBD⊥平面ABCD，交线为BD，则过E作EO⊥BD，EO⊥平面ABCD，∵PA⊥平面ABCD∴EO∥PA  ∵E为PC中点∴O为AC的中点  ∵ABCD是直角梯形∴O不在BD上，与O在BD上矛盾，平面EBD不垂直平面ABCD

[方法二]（空间向量）⑴==(+)=(+)=

(+)=(+),与、共面,但BE平面PAD ∴BE∥平面PAD⑵、、不共面，AP与平面BED不平行，平面EBD不垂直平面ABCD

[方法三]（借助空间直角坐标系）

⑴以A为原点，、、分别为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系

设D(-a,0,0),B(0,b,0), P(0,0,c),则C(-a,2b,0),E(-,b,),

=(-,0,)= (+),∴与、共面，又BE平面PAD ∴BE∥平面PAD

⑵平面ABCD的法向量为=P(0,0,c)，设平面BED的法向量为=(x,y,z),则

=-=0，=-ax-by=0,解得y=-,z=,取x=1,

有平面BED的法向量=(1,-,), =a≠0，故平面EBD不垂直平面ABCD

1、如图E、F、G、H分别为正方体AC₁的棱A₁B₁、A₁D₁、B₁C₁、D₁C₁的中点，求证

(1)E、F、G、H四点共面  (2)平面AEF∥平面BDHG

   2、如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证

(1)DM∥平面ABC   (2)DE=DA

   3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，EF⊥PB于F，求证PA∥平面EDB，PB⊥平面EFD

4、已知PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N为AB、PC的中点，且PA=AD，求证：平面MND⊥平面PDC

5、已知四棱锥P-ABCD底面是边长为a的菱形，且∠ABC=120⁰，又PC⊥平面AC，PC=h，问在棱PA上是否存在一点E，使平面EBD⊥平面ABCD

答案：5、E为PA中点时满足条件

3.2.3空间的角的计算（1）----线线、线面角

[教学目标]

[教学重点]异线角与线面角的计算

[教学难点]异线角与线面角的计算

教学过程

一、创设情景

1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法

2、向量的夹角公式

二、数学运用

例1 在正方体中,E₁，F₁分别在A₁B_1,,C₁D₁上，且E₁B₁=A₁B₁，D₁F₁=D₁C₁，求BE₁与DF₁所成角的余弦值。

解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角

解2：（向量法）设，则且

解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系

,，＝15

注意：两向量的夹角为锐角或直角时是两条直线的成角，为钝角时为两向量成角的补角

练习：教材P96----练习1，2

练习2：在三棱锥S―ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=

（1）求证：SC⊥BC；

（2）求SC与AB所成角的余弦值

解：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，

得B（0,,0）、S（0,0,2）、C（2,,0），

∴ =（2,,-2），=（－2,,0）

（1）∵?=0，∴SC⊥BC

（2）设SC与AB所成的角为α，

∵=（0,,0），?=4，||||=4，

∴cosα=，即为所求

例2 在正方体中, F分别是BC的中点，点E在D₁C₁上,且D₁C₁,试求直线E₁F与平面D₁AC所成角的余弦值

解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz

为D₁AC平面的法向量，

    所以直线E₁F与平面D₁AC所成角的余弦值为

设平面的斜线l与平面所的角为₁，斜线l与平面的法向量所成角₂，则₁与₂互余或与₂的补角互余。

练习1：P96---练习3

三、回顾总结

1、求两直线角的方法：求两直线方向向量成角，若为锐角或直角就是两直线的成角；为钝角时，为两向量成角的补角

2、求线面成角的方法：求直线与平面的法向量的成角θ，|θ-90⁰|为所求.

[补充习题]已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点，P为正方体对角线A₁C上任意一点，求直线A₁C与平面PEB₁成角正弦值的范围

[答案]

3.2.2空间的角的计算（2）――二面角的求法

[教学目标]

[教学重点]二面角的计算

[教学难点]二面角的计算

[教学过程]

一、创设情景

1、二面角的定义及求解方法

2、平面的法向量的定义法向量在求面面角中的应用：

原理：一个二面角的平面角₁与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角₂相等或互补。

二、建构数学

利用向量求二面角的大小。

方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角α-l-β的大小为θ，

A，B∈l，ACα，BDβ, AC⊥l，BD⊥l 则θ=<, >=<, > 

方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，

然后通过解直角三角形求角。

如图：已知二面角α-l-β，在α内取一点P，

过P作PO⊥β，及PA⊥l,连AO，则AO⊥l成立，∠PAO就是二面角的平面角

用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO 求出∠PAO。

方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。

如图（1）P为二面角α-l-β内一点，作PA⊥α，

PB⊥β，则∠APB与二面角的平面角互补。

三、数学运用

例1、 在正方体中,求二面角的大小。

解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，

建立如图所示坐标系D-xyz

（法一）,

（法二）求出平面与平面的法向量

例4 、已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：

（1）A₁D与EF所成角的大小；

（2）A₁F与平面B₁EB所成角的大小；

（3）二面角的大小。

解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz

（1）

A₁D与EF所成角是

（2）,

（3）,，

二面角的正弦值为

练习：教材：P97---练习4，5

四、回顾总结

1、二面角的向量解法

2、法向量的夹角与二面角相等或互补的判断：

五、布置作业：教材P97---98习题3，5，10，13

[补充习题]

1、空间一点P到二面角α-l-β的两个面α、β及棱l的距离分别为、、2，则这个二面角的大小为_______

2、如图在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1

⑴求二面角C-DE-C₁的正切值；⑵求直线EC₁与FD₁所成角的余弦值

3、在正四棱柱ABCDF-A₁B₁C₁D₁中，侧棱是底面边长的2倍，P是CC₁上的任意一点

⑴求证：总有BD⊥AP；⑵若CC₁=3C₁P，求平面AB₁P与平面ABCD所成的二面角的余弦值；⑶当点P在CC₁上何处时，AP在平面B₁AC上的射影是∠B₁AC的平分线

[答案]

1、15⁰或165⁰或75⁰或105⁰

2、⑴；⑵

3、⑴略；⑵；⑶PC=CC₁

                                 知识汇总

一、基本结论

空间向量是由平面向量推广而来，所以空间向量中的许多结论与平面向量有类似结论

1、共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.

2、共面向量定理  如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得

3、空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使

4、数量积：＝= a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂

二、应用

  1、空间中的线面关系

⑴直线与直线：两直线a,b的方向向量分别为、，

a∥b∥=x

a⊥b⊥=0

⑵直线与平面：直线a的方向向量为，平面α的法向量为

a∥α与α内两不共线向量、共面（=x+y）且aα且aα

a⊥α与α内两不共线向量、垂直（数量积为0）∥

⑶平面与平面：平面α、β法向量分别为、

α∥βα内两不共线向量平行于β∥

α⊥β⊥∥ α

   2、空间中的角

⑴空间两直线的成角：两直线a,b的方向向量为、，直线a,b的成角为θ，则cosθ=|cos<,>|

⑵直线与平面的成角：设直线a的方向向量为，平面α大法向量为，则a与α的成角为

||

⑶二面角的平面角：二面角α-l-β的平面角为θ,α、β的法向量分别为、

若在α、β内分别存在OA⊥l,OB⊥l,O为l上一点，则θ=<>

θ与<,>相等或互补

练习：教材复习题11，12

作业：复习题1~10