21．(本小题满分10分)已知函数在其定义域内为单调函数，求的取值

范围.

解：的定义域为，则.

　 令()，

①当时，，因为＞，所以＜0，＜0，

　 ∴在内是单调递减函数，即符合题意；

②当＞0时，的图像为开口向上的抛物线，对称轴为，而，

∴在内有最小值，

只需，即时，.

∴在内为单调递增函数，故.　

③当＜0时，的图像为开口向下的抛物线，对称轴为，而，∴在内单调递减，只要，即时，在内恒成立，此时，在内是减函数，故＜0符合题意.

综上所述，的取值范围是或.

20．(本小题满分10分)在三棱锥中，△是边长为的正三角形，平面平面，、分别为的中点.

(1)证明：⊥；

(2)求二面角的余弦值.

解法1：(1)连接S与AC的中点O，因为SA=SC，所以

，因为平面平面，

平面.连接BO, 则BO为SB在平面内的射影.

,，

.

(2)连接N与BO的中点D, 则∥SO,

平面CMB.

过D作于点E, 连接NE,

则∠NED即为所求二面角--的平面角.

,∥BM. 设BO与CM交点为F, 则F为△的重心.,,,，

,,.

解法2: 连接S与AC的中点O，因为SA=SC，所以

，因为平面平面,

平面.

连接BO, ,. 如图，以O为坐标原点,分别以OA,OB,OS所在直线为轴建系.　 则

,,,,

,.

(1),,.

(2),，设平面CMN的法向量为，则,所以平面CMN的一个法向量为，平面CMB的一个法向量为.

. 所以二面角--平面角的余弦值为.

19．(本小题满分8分)已知直线过定点，且与抛物线交于、两点，若以为直径的圆经过原点，求抛物线的方程.

解：可设直线的方程为代入，

得　　 设，

则，　

由题意知，则，

即　，

∴, 此时，抛物线的方程为

18．(本小题满分8分)设函数在及时取得极值．

(1)求a、b的值；

(2)求的单调区间.

解：(1)，由已知，得　 解得

(2)随的变化情况如下表：

		－
	增	减	增

所以在上是增函数，在上为减函数，在上是增函数.

17．解法1：过E作于点F,连接DF,则∠EDF即为直线DE与平面ABCD所成角.

因为E为BC₁的中点,所以F为BC的中点.

，，

，

=.

解法2：以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD₁

所在直线为轴建系. 则，

，平面ABCD的法向量，

，所以直线DE与平面ABCD所成角的正弦值为.

13．　　　 14．4　　　　　 15．　　　　 16．　

1．C　 2．B　 3．B　 4．C　 5．A　 6．A　 7．D　 8．D　 9．C　 10．A　 11．D　 12．A

22．(本小题满分12分)如图,为半圆直径，为半圆圆心，且，为线段的中点，，曲线过点，动点在曲线上运动，且保持的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

(2)若过点的直线与曲线相交于不同的两点、，且点，设，求的取值范围.

2008-2009学年

　　　　 东北师大附中　　　　　　 高二数学(文科)试卷

下学期期末考试

命题人：王 生　 田京爱　　 审题人：李晓松　　 2009-07-09

第Ⅰ卷(选择题　 共48分)

21．(本小题满分10分)已知函数在其定义域内为单调函数，求的取值

范围.

20．(本小题满分10分)在三棱锥中，△是边长为的正三角形，平面平面，、分别为的中点.

(1)证明：⊥；

(2)求二面角的余弦值.