24．(株洲市2011年)(本题满分10分)孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：

(1)若测得(如图1)，求的值；

(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；

(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

　

23、解：(1)、

∵y轴和直线l都是⊙C的切线

∴OA⊥AD　 BD⊥AD

　又∵ OA⊥OB

∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°

∴四边形OADB是矩形

∵⊙C的半径为2

∴AD=OB=4

∵点P在直线l上

∴点P的坐标为(4，p)

又∵点P也在直线AP上

∴p=4k+3

(2)连接DN

∵AD是⊙C的直径　 ∴ ∠AND=90°

∵ ∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN

　∴∠AND=∠ABD　　　　　　　　　　　

又∵∠ADN=∠AMN　 ∴∠ABD=∠AMN　　　 …………4分

∵∠MAN=∠BAP　　　　　　　　　　　 …………5分

∴△AMN∽△ABP　　　　　　　　　　　 …………6分

(3)存在。　　　　　　　　　　　　　 …………7分

理由：把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3

AB=

∵ S△ABD= AB·DN=AD·DB

∴DN==

　∴AN²=AD²-DN²=

∵△AMN∽△ABP　

∴　 即　 ……8分

当点P在B点上方时，

∵AP²=AD²+PD² = AD²+(PB-BD)² =4²+(4k+3-3)² =16(k²+1)

或AP²=AD²+PD² = AD²+(BD-PB)² =4²+(3-4k-3)² =16(k²+1)

S△ABP= PB·AD=(4k+3)×4=2(4k+3)

∴

整理得k²-4k-2=0　 解得k₁ =2+　 k₂=2-　　　 …………9分

当点P在B 点下方时，

∵AP²=AD²+PD² =4²+(3-4k-3)² =16(k²+1)

S△ABP= PB·AD=[-(4k+3)]×4=-2(4k+3)

∴

　化简，得k²+1=-(4k+3)　 解得k=-2

　综合以上所得，当k=2±或k=-2时，△AMN的面积等于　 …10分

28．解：(1)根据题意，得，解得 ，∴A(3，4) .

令y=-x+7=0，得x=7．∴B(7，0).

(2)①当P在OC上运动时，0≤t＜4.

由S_△APR=S_梯形COBA-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，得

(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8

整理,得t²-8t+12=0,　 解之得t₁=2,t₂=6(舍) 　

当P在CA上运动，4≤t＜7.

由S_△APR= ×(7-t) ×4=8，得t=3(舍)

∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.

　②当P在OC上运动时，0≤t＜4.

∴AP=，AQ=t，PQ=7-t

当AP =AQ时， (4-t)²+3²=2(4-t)²,

整理得，t²-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)

当AP=PQ时，(4-t)²+3²=(7-t)²,

整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)

当AQ=PQ时，2(4-t)²=(7-t)²

整理得，t²-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)

当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.

设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.

由cos∠OAC= = ，得AQ = (t-4)．

当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = .　

当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP

得t-4= (7-t)，解得t =5.

当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F

AF= AQ = ×(t-4).

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝ ，得AF＝ AP

即 ×(t-4)= ×(7-t)，解得t= .

∴综上所述，t=1或 或5或 时，△APQ是等腰三角形.　

(2011·济宁)如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。

(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随变化的函数关系式。

(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上(除点B以外)的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；

(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。

27.解：情境观察

AD(或A′D)，90　

问题探究

结论：EP=FQ.　

证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.

∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.

∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.

同理AG=FQ.　 ∴EP=FQ.

拓展延伸

结论： HE=HF.　

理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.

∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP.

∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = .

同理△ACG∽△FAQ，∴ = .

∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ = . ∴EP=FQ.

∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF

　

(盐城市二○一一年)28．(本题满分12分)如图，已知一次函数y = 　- 　x +7与正比例函数y　 = 　 x的图象交于点A，且与x轴交于点B.

(1)求点A和点B的坐标；

(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

　

28．(1)∵，∴，。

∴，。····················1分

又∵抛物线过点、、，

故设抛物线的解析式为，

将点的坐标代入，求得。

　∴抛物线的解析式为。········3分

(2)设点的坐标为(，0)，过点作轴于点(如图(1))。

∵点的坐标为(，0)，点的坐标为(6，0)，

∴，。···························4分

∵，∴。

∴，∴，∴。·················5分

∴

　······6分

。

∴当时，有最大值4。

此时，点的坐标为(2，0)。··············7分

(3)∵点(4，)在抛物线上，

∴当时，，

∴点的坐标是(4，)。

如图(2)，当为平行四边形的边时，，

∵(4，)，∴(0，)，。

∴，。 ··········9分

①　　 如图(3)，当为平行四边形的对角线时，

设，则平行四边形的对称中心为

(，0)。·················10分

∴的坐标为(，4)。

把(，4)代入，得。

解得 。

，。····

(盐城市二○一一年)27．(本题满分12分)

情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是　 ▲　 ，∠CAC′=　 ▲　 °．

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

21．(2011年广东省)如图(1)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

　

(1)问：始终与△AGC相似的三角形有　　 及　　 ；

(2)设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由)

(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

(1)、△HAB　 △HGA；

(2)、由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0<x<)

(3)因为：∠GAH= 45°

①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图(1)：可知CG=x=/2

②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图(2)：由△HGA∽△HAB

知：HB= AB=9，也可知BG=HC，可得：CG=x=18-

　　　　　　 图(1)　　　　　　　　　　　　 图(2)

(2011年凉山州)如图，抛物线与轴交于(，0)、(，0)两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。

(1)求抛物线的解析式；　　　　　

(2)点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；

(3)点在(1)中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。

10．(2011年广东省)如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁，如图(2)中阴影部分；取△A₁B₁C₁和△D₁E₁F₁各边中点，连接成正六角星形A₂F₂B₂D₂C₂E₂，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A₄F₄B₄D₄C₄E₄的面积为_________________．

　

答案：

　

26. 解：(1)由已知得：A(-1，0)　 B(4，5)------------1分

∵二次函数的图像经过点A(-1，0)B(4,5)

∴　　　　　　　　　 　------------2分

解得：b=-2　 c=-3　　　　　　------------3分

(2如26题图：∵直线AB经过点A(-1，0)　 B(4,5)

∴直线AB的解析式为：y=x+1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵二次函数

∴设点E(t， t+1),则F(t，)　 ------------4分

∴EF= 　　　　　　　　------------5分

　　 　=

∴当时，EF的最大值=

∴点E的坐标为(，)　------------------------6分

(3)①如26题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标(，),点D的坐标为(1，-4)

S　=　S　+　S

　　　　 =

26题备用图

　　　　 = 　-----------------------------------9分

②如26题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)

则有：　　　 解得:,

∴,　

ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于，设(n，)

则有：　 　解得： ，(与点F重合，舍去)∴

综上所述：所有点P的坐标：，(.　 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．------------------------------------12分

(江苏省宿迁市2011年)26．(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝(x＞0)图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．

(1)判断P是否在线段AB上，并说明理由；

(2)求△AOB的面积；

(3)Q是反比例函数y＝(x＞0)图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO

　　　 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．

解：(1)点P在线段AB上，理由如下：

　　　　 ∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°

∴AB是⊙P的直径

∴点P在线段AB上．

(2)过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，由题意可知PP₁、PP₂

是△AOB的中位线，故S_△AOB＝OA×OB＝×2 PP₁×PP₂

　　 ∵P是反比例函数y＝(x＞0)图象上的任意一点

∴S_△AOB＝OA×OB＝×2 PP₁×2PP₂＝2 PP₁×PP₂＝12．

(3)如图，连接MN，则MN过点Q，且S_△MON＝S_△AOB＝12．

∴OA·OB＝OM·ON

∴

∵∠AON＝∠MOB

∴△AON∽△MOB

∴∠OAN＝∠OMB

∴AN∥MB．

(江苏省宿迁市2011年)27．(本题满分12分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t(0≤t≤2)，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．

　　 (1)当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；

　　 (2)顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

解：(1)∵四边形ABCD是正方形

∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB

∵QE⊥AB，MF⊥BC

∴∠AEQ＝∠MFB＝90°

　　　　 ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形

　　　　 ∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE

　　　　 又∵PQ⊥MN

∴∠EQP＝∠FMN

又∵∠QEP＝∠MFN＝90°

∴△PEQ≌△NFM．

　 (2)∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t

∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2

由勾股定理，得PQ＝＝

∵△PEQ≌△NFM

∴MN＝PQ＝

又∵PQ⊥MN

∴S＝＝＝t²－t+

∵0≤t≤2

∴当t＝1时，S_最小值＝2．

综上：S＝t²－t+，S的最小值为2．

(江苏省宿迁市2011年)28．(本题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．

　(1)求AE的长度；

(2)分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F(F与C在AB两侧)，连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

解：(1)在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝得 AC＝＝

　　　 ∵BC＝CD，AE＝AD

∴AE＝AC－AD＝．

　 (2)∠EAG＝36°，理由如下：

　　　 ∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝

∴＝

∴△FAE是黄金三角形

∴∠F＝36°，∠AEF＝72°

∵AE＝AG，FA＝FE

∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE

∴△AEG∽△FEA

∴∠EAG＝∠F＝36°．

25、解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为，············1分

　　　　 　把点A(0，4)代入上式得：，

　　　 　∴，···········2分

　　　 　∴抛物线的对称轴是：．······································3分

(2)由已知，可求得P(6，4)．　 ···································5分

提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，

即P(6，4)．···································5分

(注：如果考生直接写出答案P(6，4)，给满分2分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分)

⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．

设N点的横坐标为，此时点N(，过点N作NG∥轴交AC于G；由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：；把代入得：，则G，

此时：NG=-()，　

=．　　　　 ······································7分

∴

∴当时，△CAN面积的最大值为，

由，得：，∴N(， -3)．　 ········ 8分

法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则

(再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略)

(重庆市潼南县2011年)26.(12分)如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，

OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

(1)求b,c的值；

(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线

交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上

是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

　

24、解：(1)解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，

　　　　 　　在Rt△AOC中，，1分

　　　　　　 在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB

　　　　　　 ∴Rt△AOC∽Rt△ABO，····························2分

　　　　　　 ∴，即， ····················3分

　∴ ，　 ∴····················4分

　　　　　　 解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°

在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， ············1分

过C作CE⊥OA于点E，则：，

即：，∴，·························2分

∴　 ∴，·········3分

设经过A、C两点的直线解析式为：．

　　　 把点A(5，0)、代入上式得：

　，　　 解得：，

　　　　　 ∴ ，　 ∴点　 ．·4分

(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：

连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点，　　　　　　　　　　　　　　 ∴，

∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，

∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，

∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上； 　　·················6分

由上可知，经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点，圆心，

由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB=，在Rt△ABO中，

，OD=，

∴，点在函数的图象上，

∴，　　　 ∴． ················8分

(2011年广东茂名市)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线对称轴与轴相交于点M．

(1)求抛物线的解析式和对称轴；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

(2)设点P为抛物线()上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；　　　　　　　　　　 (2分)

(3)连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．　　　　　　　 (3分)

解：