5.　　　　 (1988)的展开式中，若第三项与第六项的系数相等，则_____。[7]

4.　　　　 (1987)的展开式中，的系数与的系数之差是_________。[0]

3.　　　　 (1986)的展开式中，x的一次项的系数是___________。[28]

2.　　　　 (1985文)求的展开式中的系数。[448]

1.　　　　 (1985理)求的展开式中的常数项。[-5005]

22.(本小题满分14分)

已知A(4,0)、N(1,0),曲线C上的任意一点P满足、=6||,

(1)求点P的轨迹方程;

(2)求||的取值范围;

(3)若M(－1,0),求∠MPN的取值范围.

解:(1)设P(x,y),则=(－3,0),=(x－4,y),=(1－x,y).

∵·=6||,

∴－3(x－4)+0·y=6,

化简得=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)由(1)得||==－(x－4).

又－2≤x≤2,

∴||的取值范围为［1,3］.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)设||=m,||=n,

∵M、N正好是椭圆的两个焦点,

∴cos∠MPN=

==

=－1=－1≥－1=－1=.

又∠MPN∈(0,π),

∴∠MPN的取值范围是［0,］.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

21.(本小题满分12分)

已知正数项数列{a_n}和{b_n}满足b_n=+a_n,b_n+1=b_n(1－a_n+1²)(n∈N^*),a₁=1.

(1)求数列{a_n}和{b_n}的前4项;

(2)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式.

解:(1)∵

对一切n∈N^*都成立,

又a₁=1,∴b₁=+a₁=.

由①②③式得

解得a₂=,b₂=,

同理解得a₃=,b₃=和a₄=,b₄=,

∴数列{a_n}的前4项为a₁=1,a₂=,a₃=,a₄=,数列{b_n}的前4项为b₁=,b₂=,b₃=,b₄=.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)由a₁=1=,a₂=,a₃==,a₄=猜想数列{a_n}的通项公式为a_n=(n∈N^*).④

数学归纳法证明如下:

当n=1、2、3、4时,由前计算知公式④成立.

设n=k(k≥4)时,公式④成立,即a_k=.

当n=k+1时,由①②③式得

消去b_k+1得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

又b_k=+a_k=+×=,把它代入⑤式解得

a_k+1=,

即n=k+1时,公式④也成立.

∴对一切n∈N^*,a_n=成立,此时b_n=+a_n=+×=.

∴数列{a_n},{b_n}的通项公式分别为

a_n=,b_n=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

说明:可先猜想数列{b_n}的通项公式,再用数学归纳法证明,最后由②式解得{a_n}的通项公式.

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=在x=2处有一个极大值.

(1)求a、b的关系式,并判断a的符号;

(2)求f(x)的单调区间.

解:(1)f′(x)==.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∵f(x)在x=2处有一个极大值,

∴f′(2)=0,从而3a+4b=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

将b=－a代入①得

f′(x)=.

∵f(x)在x=2处有极大值,

∴当－<x<2时,f′(x)>0;x>2时,

f′(x)<0,∴a>0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)令f′(x)>0解得－<x<2,从而f(x)在(－,2)内是增函数;

令f′(x)<0,解得x<－或x>2,从而f(x)在(－∞,－)或(2,+∞)内是减函数.12分

19.(本小题满分12分)

二人掷一颗骰子,两人各掷一次,点数大者为胜,但这个骰子可能不太规则,以致k点出现的概率是P_k(k=1,2,3,4,5,6).在这种情况下,

(1)求二人平局的概率P.

(2)证明P≥;并证明如果P=,则P_k=(k=1,2,3,4,5,6).

(1)解:P=P₁²+P₂²+…+P₆².　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)证明:∵P₁+P₂+…+P₆=1,

(P₁－)²+(P₂－)²+…+(P₆－)²

=P₁²+P₂²+…+P₆²－ (P₁+P₂+…+P₆)+

=P－≥0,

∴P≥,当P=时,P₁=P₂=…=P₆=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

18.(本小题满分12分)

已知正四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面边长为3,高为4.

(1)平面ABCD内是否存在与AB不平行的直线与BC′垂直?证明你的结论.

(2)求二面角A′-BC′-B′的大小.

(3)求点D′到平面A′BC′的距离.

解法一:(几何法)(1)不存在.

证明:假设平面ABCD内存在与AB不平行的直线l与BC′垂直.

∵ABCD-A′B′C′D′是正四棱柱,

∴AB⊥BC′.

又AB与l相交,

∴BC′⊥平面ABCD.

又BB′⊥平面ABCD,这与“过一点只能作一条直线与一个平面垂直”相矛盾.故平面ABCD内不存在与AB不平行的直线l与BC′垂直.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)作BH⊥BC′于H.

连结A′H.

∵A′B′⊥平面BB′C′,

∴A′H⊥BC′.

∴∠A′HB′为二面角A′-BC′-B′的平面角.

易求得B′H=,

A′H=.

又A′B′=3,

∴△A′B′H中,cos∠A′HB′===.

∴∠A′HB′=arccos为所求.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)设d为所求距离.

∵V_{D′-A′BC′}=V_{B-A′C′D′},

∴S_△A′BC′·d=S_{△A′C′D′}·BB′··d=·(·3²)·4d=为所求.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

解法二:(向量法)(1)不存在.

证明:建立如图空间直角坐标系.不妨假设平面ABCD内存在直线BE(E在AD上且与A不重合)与BC′垂直(如图).

设E(0,t,4)(t≠0),

则=(0,t,4)－(3,0,4)=(－3,t,0).

又==+=(0,0,－4)+(0,3,0)=(0,3,－4),

∴·=(0,3,－4)·(－3,t,0)=3t=0t=0,这与t≠0矛盾.

∴平面ABCD内不存在与AB不平行的直线l与BC′垂直.

(2)如图,作A′H⊥BC′于H,连结B′H.

∵A′B′⊥平面BB′C′,

∴B′H是A′H在平面BB′C′内的射影.

∴B′H⊥BC′.

∴∠A′HB′就是二面角A′-BC′-B′的平面角.

设H(3,y,z),∵B′(3,0,0),

∴=(0,－y,－z).

又=(3,3,0)－(3,0,4)=(0,3,－4),

∴· =－3y+4z.

∵⊥,∴－3y+4z=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又由 =λ,可得4y+3z－12=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

解①②联立的方程组,得y=,z=.

故=(3,0,0)－(0,,)=(3,－,－),=(－3,－,－).

又易得||=,||=.

∴cos∠A′HB′=

=

=.

∴∠A′HB′=arccos为所求.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)由(2)可知BC′⊥平面A′HB′.

∵BC′平面A′BC′,

∴平面A′HB′⊥平面A′BC′.

作B′G⊥A′H于G,则B′G⊥平面A′BC′,B′G就是点B′到平面A′BC′的距离.

∴B′G=B′H·sin∠A′HB′=·=.

∵ABCD-A′B′C′D′是正四棱柱,

∴易证点D′与点B′到平面A′BC′的距离相等.

∴为所求.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分