5．

解法一：

　　 ⑴ 延长C₁F交CB的延长线于点N，连结AN，因为F是BB₁的中点，所以F为C₁N的中点，B为CN的中点.

　　 　　又M是线段AC₁的中点，故MF//AN

　　 　　∴ 　

　　 ⑵ 证明：连BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁可知：平面ABCD，

　　 　　又∵BD平面ABCD，∴ 　

　　 　　∵ 四边形ABCD为菱形，∴

　　 　　∴ 　

　　 　　∵ 在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，

　　　 ∴ 四边形DANB为平行四边形.

　　 　　故NA∥BD，平面ACC₁A₁.

　　　 ，ACC₁A₁.

　　 ⑶ 由⑵知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ ACC₁A₁，∴BD⊥AC₁，

　　　 ∵BD//NA，∴AC₁⊥NA.，又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

　 　　∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角

　 　　在Rt△C₁AC中，，故∠C₁AC=30°.

　 　　∴平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°.

解法二：

设ACBD=O，因为M、O分别为C₁A、CA的中点，所以，MO//C₁C，又由直四棱柱知C₁C⊥平面ABCD，所以，MO⊥平面ABCD.在棱形ABCD中，BD⊥AC，所以，OB、OC、OM两两垂直.故可以O为原点，OB、OC、OM所在直线分别为轴、轴、轴如图建立空间直角坐标系，若设|OB|=1，则B(1，0，0)，B₁(1，0，2)，A(0，，0)，C(0，，0)，C₁(0，，2).

⑴ 由F、M分别为B₁B、C₁A的中点可知：

F(1，0，1)，M(0，0，1)，

所以(1，0，0)=

又与不共线，所以，MF∥OB.

平面ABCD，OB平面ABCD，

∥平面ABCD.

⑵ (1，0，0)为平面ACC₁A₁的法向量.

设为平面AFC₁的一个法向量，则

由，　 得：

令得，此时，.

由于，所以，平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁.

⑶ 为平面ABCD的法向量，设平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大

小为，则

所以=30°或150°.

即平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°.

4．2006年东城区二模文科第17题，理科第16题

解法一：

　　 ⑴ 取PC的中点O，连结OF、OE.

　　 　　∴ ，且　 　　　∴

　 　　∵ E是AB的中点，且AB=DC，　 ∴ FO=AE

　 　　∴ 四边形AEOF是平行四边形　 　　∴ AF//OE

　 　　又平面PEC，平面PEC，

　 　　∴ AF//平面PEC.

　　 ⑵ 连结AC．∵PA⊥平面ABCD，

　　 　　∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角

　　 　　在中，

　　 　　∴ 直线PC与平面ABCD所成角的大小为．

　　 ⑶ 作AM⊥CE，交CE延长线于M，连结PM．

　 　　　由三垂线定理，得PM⊥CE

　 　　　∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．

　 　　由△AME-△CBE，可得

　 　　∴

　 　　　∴ 二面角P-EC-D的大小为．

解法二：

解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系.

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，

D(0，1，0)，，E(1，0，0)，P(0，0，1).

⑴ 取PC的中点O，连结OE.　 则

又OE平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC.

⑵ 由题意可得，

设平面ABCD的法向量是

即直线PC与平面ABCD所成角的大小为

⑶ 设平面PEC的法向量为　

则 可得

令z= －1，则m=(－1，1，－1).

由(2)可得平面ABCD的法向量是

∴二面角P-EC-D的大小为

3．

解法一：

　 　⑴ 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，所以CC₁⊥AC．

　 　　因为BC=CC₁，所以BCC₁B₁为正方形．

　 　　　又，所以AC⊥BC，

　 　　　所以AC⊥平面BCC₁B₁，

　 　　　连结B₁C，则B₁C为AB₁在平面BCC₁B₁上的射影，

　 　　　因为B₁C⊥BC₁，所以AB₁⊥BC₁．

　 　⑵ 因为BC//B₁C₁，BC面AB₁C₁，所以BC//面AB₁C₁，所以点B到平面AB₁C₁的距离等于点C到平面AB₁C₁的距离．

　　 连结A₁C交AC₁于H，则CH⊥AC₁，由于B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥CC₁，所以B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，B₁C₁⊥CH，所以CH⊥平面AB₁C₁，所以CH的长度为点B到平面AB₁C₁的距离．

　 　因为，所以点B到平面AB₁C₁的距离为．

　　 ⑶ 取A₁B₁中点D，连结C₁D．因为△A₁B₁C₁是等腰三角形，所以C₁D⊥A₁B₁，又BB₁⊥平面A₁B₁C₁，所以BB₁⊥C₁D，所以C₁D⊥平面ABB₁A₁．

　　 作DE⊥AB₁于E，连C₁E，则DE为C₁E在平面ABB₁A₁上的射影，所以C₁E⊥AB₁，∠C₁ED为二面角C₁-AB₁-A₁的平面角．

　　 由已知，

　　 ∴ ，

　　 即二面角C₁-AB₁-A₁的大小为60°．

解法二：

⑴ 如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点.

依题意A(2，0，0)，B(0，2，0)，B₁(0，2，2)，C₁(0，0，2)，

因为，所以AB₁⊥BC₁.

⑵ 设是平面AB₁C₁的法向量，

由得

所以

令，则，

　　　 因为，所以，B到平面AB₁C₁的距离为.

⑶ 设是平面A₁AB₁的法向量.

　 由

　　　 　 令=1，则

　　　 因为，

　　　 所以，二面角C₁-AB₁-A₁的大小为60°.

2．

解法一：

⑴ 取B₁C₁中点D，连结ND，A₁D，所以DN//BB₁///AA₁又， 所以四边形A₁MND为平行四边形，所以MN//A₁D；

又，所以MN//平面A₁B₁C₁；

⑵ 三棱柱ABC－A₁B₁C₁为直三棱柱，所以CC₁⊥BC，

又∠ACB=90°，所以BC⊥平面A₁MC₁，

在平面ACC₁A中过C₁做C₁H⊥CM，又BC⊥C₁H，所以C₁H为C₁到平面BMC的距离.

在等三角形CMC₁中，CC₁=，

所以

⑶ 在平面ACC₁A₁上作CF⊥C₁M，交C₁M于点E，A₁C₁于点F.则CE为BE在平面ACC₁A₁上的射影，所以BE⊥CM₁，所以∠BEF为二面角B-C₁M-A₁的平面角.

在等腰三角形CMC₁中，CE=C₁H=，

所以

所以

…14分

解法二：

⑴ 如图，以点C为坐标原点，以CB所在

直线为Ox轴，CA所在直线为Oy轴，CC₁所在直线

为Oz轴，建立空间直角坐标系.

由已知得、、.

,,

所以

所以所以MN//A₁D；

又所以MN//平面A₁B₁C₁；

⑵ B(2，0，0)、C(0，0，0)，

设垂直于平面BCM的向量

所以所以

所以C₁到平面BMC的距离为

⑶ 三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，所以CC₁⊥BC，

设垂直于平面BMC₁的向量

所以　 即

所以

所求二面角的大小

1.

解法一：

⑴ ∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD，∴MN⊥PA.

　 又MN⊥AD，PA∩AD=A， ∴MN⊥平面PAD.

　 ∵MN平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD.

⑵ ∵BC⊥BA，BC⊥PA，PA∩BA=A，∴BC⊥平面PBA.

∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角，即sin∠BPC=.

在Rt△PBC中，PC=，

(III)由(I)，MN⊥平面PAD，知PM⊥MN，MQ⊥MN，

∴∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角.

而

解法二：

⑴ 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系(图略).

　　 设PA=a，则A(0，0，0)，B(2，0，0)C(2，2，0)，D(0，2，0)P(0，0，a)，

M(0，1，0)，N(2，1，0).

∴MN⊥平面PAD.

∵MN平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD.

⑵ 平面PBA的一个法向量为.

∵直线PC与平面PBA成角的正弦值为

即

⑶ 同解法一的⑶

6．

　　 已知四棱锥的底面是菱形，，，点是边的中点．

　　 ⑴ 求证：平面；

　　 ⑵ 若二面角的大小等于，且，．

　　　 ① 求点到平面的距离；

　　　 ② 求二面角的大小．

5．

　　 直四棱柱的底面是菱形，且，，为棱的中点，为线段的中点．

　　 ⑴ 求证：直线平面；

　　 ⑵ 求证：直线平面；

　　 ⑶求平面与平面所成二面角的大小．

4．

　　 已知四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点．

　　 ⑴ 求证：平面；

　　 ⑵ 求与平面所成角的大小；

　　 ⑶ 求二面角的大小．

3．

　 如图，在直三棱柱中，，

　 ⑴ 证明：；

　 ⑵ 求点到平面的距离

　 ⑶ 求二面角的大小

2．

　　 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点．

　　 ⑴ 求证：平面；

　　 ⑵ 求点到平面的距离；

　　 ⑶ 求二面角的大小．