5．(本小题满分12分)

　　　 已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点.

　 (Ⅰ)求双曲线C₂的方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围.

解：(Ⅰ)设双曲线C₂的方程为，则

故C₂的方程为

(II)将

由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得

即　 　　　　　　①

.

由直线l与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B得

解此不等式得

　　　　 ③

由①、②、③得

故k的取值范围为

4．(本小题满分14分)

已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

(I)求动圆圆心的轨迹的方程；

(II)设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

解：(I)如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；

(II)如图，设，由题意得(否则)且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①

(1)当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点

(2)当时，由，得==

将①式代入上式整理化简可得：，所以，

此时，直线的方程可表示为即

所以直线恒过定点

所以由(1)(2)知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.

3．(本小题满分12分)

已知数列的首项前项和为，且

(I)证明数列是等比数列；

(II)令，求函数在点处的导数并比较与的大小.

解：由已知可得两式相减得

即从而当时所以又所以从而

故总有，又从而即数列是等比数列；

(II)由(I)知

因为所以

从而=

=-=

由上-=

=12①

当时，①式=0所以；

当时，①式=-12所以

当时，

又

所以即①从而

2．(本小题满分12分)

　　　 函数在区间(0，+∞)内可导，导函数是减函数，且 设

是曲线在点()得的切线方程，并设函数

　 (Ⅰ)用、、表示m；

　 (Ⅱ)证明：当；

　 (Ⅲ)若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，

　　　　 求b的取值范围及a与b所满足的关系.

本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分

　 (Ⅰ)解：…………………………………………2分

　 (Ⅱ)证明：令

　　　　 因为递减，所以递增，因此，当；

　　　　 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的

最小值为0，因此即…………………………6分

　 (Ⅲ)解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

　　　　 对任意成立的充要条件是

　　　 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用(II)的结果可知，的充要条件是：过点(0，)与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为

　　　 于是的充要条件是…………………………10分

　　　 综上，不等式对任意成立的充要条件是

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②

　　　 有解、解不等式②得　　　　　　　　 　　　　　③

　　　 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

(Ⅲ)解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

　　　 对任意成立的充要条件是

　　　　 ………………………………………………………………8分

　　　 令，于是对任意成立的充要条件是

　　　 　由

　　　 当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分

　　　 综上，不等式对任意成立的充要条件是

　　　 　　　　 ①

　　　 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式　 ②

　　　 有解、解不等式②得

　　　 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

1．(本小题满分14分)

已知椭圆的左、右焦点分别是F₁(－c，0)、F₂(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足

　 (Ⅰ)设为点P的横坐标，证明；

　 (Ⅱ)求点T的轨迹C的方程；

　 (Ⅲ)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，

　　　　 使△F₁MF₂的面积S=若存在，求∠F₁MF₂

 的正切值；若不存在，请说明理由.

本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.

(Ⅰ)证法一：设点P的坐标为

由P在椭圆上，得

由，所以 ………………………3分

证法二：设点P的坐标为记

则

由

证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为

　　　 由椭圆第二定义得，即

　　　 由，所以…………………………3分

(Ⅱ)解法一：设点T的坐标为

　　　　　 当时，点(，0)和点(－，0)在轨迹上.

当|时，由，得.

又，所以T为线段F₂Q的中点.

在△QF₁F₂中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分

解法二：设点T的坐标为 当时，点(，0)和点(－，0)在轨迹上.

　　　 当|时，由，得.

　　　 又，所以T为线段F₂Q的中点.

　　　 设点Q的坐标为()，则

　　　 因此　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 由得　　　　 ②

　　　 将①代入②，可得

　　　 综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分

　　　 由③得，由④得　 所以，当时，存在点M，使S=；

　　　 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分

　　　 当时，，

　　　 由，

　　　 ，

　　　 ，得

解法二：C上存在点M()使S=的充要条件是

　　　 由④得　 上式代入③得

　　　 于是，当时，存在点M，使S=；

　　　 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分

　　　 当时，记，

　　　 由知，所以…………14分

7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.

　　 在直角坐标平面中,已知点P₁(1,2),P₂(2,2²),┄,P_n(n,2ⁿ),其中n是正整数.对平面上任一点A₀,记A₁为A₀关于点P₁的对称点, A₂为A₁关于点P₂的对称点, ┄, A_N为A_N-1关于点P_N的对称点.

　　 (1)求向量的坐标;

　　 (2)当点A₀在曲线C上移动时, 点A₂的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;

　　 (3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.

[解](1)设点A₀(x,y), A₀为P₁关于点的对称点A₀的坐标为(2-x,4-y),

　 A₁为P₂关于点的对称点A₂的坐标为(2+x,4+y),

　 ∴={2,4}.

　 (2) ∵={2,4},

∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.

因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

另解设点A₀(x,y), A₂(x₂,y₂),于是x₂-x=2,y₂-y=4,

若3< x₂≤6,则0< x₂-3≤3,于是f(x₂)=f(x₂-3)=lg(x₂-3).

当1< x≤4时, 则3< x₂≤6,y+4=lg(x-1).

∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

(3) =,

由于,得

　=2()=2({1,2}+{1,2³}+┄+{1,2^n-1})=2{,}={n,}

6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

　　 对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f(x) 、y=g(x),

　　　　　　　　　　　 f(x)·g(x)　　 当x∈D_f且x∈D_g

　　 规定: 函数h(x)=　 f(x)　　　　 当x∈D_f且xD_g

　　　　　　　　　　　 g(x)　　　　 当xD_f且x∈D_g

(1)　 若函数f(x)=,g(x)=x²,x∈R,写出函数h(x)的解析式;

(2)　 求问题(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

　[解] (1)h(x)=　 　　　x∈(-∞,1)∪(1,+∞)

　　　　　　　　 1　　　　　　 x=1

　 (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,

　　　 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立

若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立

∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)

(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=

则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.

另解令f(x)=1+sin2x, α=,

g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.

5．已知函数和的图象关于原点对称，且．

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．

本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.

解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

(Ⅱ)由

当时，，此时不等式无解.

当时，，解得.

因此，原不等式的解集为.

(Ⅲ)

①

②

ⅰ)

ⅱ)

4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

　 (Ⅰ)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F₁PF₂最大值．

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.

解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则

(Ⅱ)

3．(本小题满分14分)

　　　 已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

　 (Ⅰ)证明

(Ⅱ)猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)；

(Ⅲ)试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有

本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.

　 (Ⅰ)证法1：∵当

即　

于是有　

所有不等式两边相加可得　

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式

　 (i)当n=3时，　 由

知不等式成立.

(ii)假设当n=k(k≥3)时，不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由(i)、(ii)知，

又由已知不等式得　

　 (Ⅱ)有极限，且

　 (Ⅲ)∵

则有

故取N=1024，可使当n>N时，都有