21．(本小题满分12分)

解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知………………(2分)

又∴.

所以, 点M的轨迹C的方程为.………………(4分)

(2)设点, , 点N的坐标为,

㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分)

㈡设直线l:

由消去x,

得………………①

∴………………(6分)

∴,

∴点N的坐标为.………………(8分)

①若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上,

得, 即 ∴舍去).

由方程①得

又

∴.………………(10分)

②若, 由①得∴

∴点N的坐标为, 射线ON方程为: ,

由　 解得 ∴点E的坐标为

∴.

综上, 的充要条件是.………………(12分)

21.(本小题满分12分)将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),

得到曲线C.

(1) 求C的方程;

(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,

延长线段ON交C于点E.

求证: 的充要条件是.

22．(14分)

解：(Ⅰ)将点代入中得

…………………………………………(4分)

(Ⅱ)………………………………(5分)

……………………(8分)

(Ⅲ)由

………………………………(14分)

22．(14分)已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上。

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；

(Ⅲ)对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围。

21．(12分)

解：(Ⅰ)设抛物线方程为，将代入方程得

………………………………………………(1分)

由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………(2分)

对于椭圆，

………………………………(4分)

对于双曲线，

………………………………(6分)

(Ⅱ)设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为

令………………………………………………(7分)

…………(12分)

21．(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。

(Ⅰ)求这三条曲线的方程；

(Ⅱ)已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

22. 解:(1)令 解得 由 解得

∴函数的反函数

则得

是以2为首项，1为公差的等差数列，故…………4分

(2)

在点处的切线方程为

令得

仅当时取得最小值，　 ∴的取值范围为………8分

(3)　

所以 又因 则

显然…………………………10分

　　 …………………………12分

.……………14分

22．(本小题满分12分)

函数的反函数为，数列和满足：，，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为.

(1)求数列{}的通项公式；

(2)若数列的项中仅最小,求的取值范围；

(3)令函数,.数列满足:,且，(其中).证明:.

21. (1)以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系

　　　 若，即，动点所在的曲线不存在；

若，即，动点所在的曲线方程为；

　　　 若，即，动点所在的曲线方程为.

　…………………………4分

(2)当时，其曲线方程为椭圆

　　 由条件知两点均在椭圆上，且

设，，的斜率为，则的方程为，的方程为　 解方程组得，

　 同理可求得，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 面积=　　 ………………8分

令则

令　 所以，即　　

当时，可求得,故，　 故的最小值为，最大值为1. ……12分

(2)另解：令，则

解得

所以，而

因此，即最大值是1，最小值是.

21．(本小题满分12分)

已知线段，的中点为，动点满足(为正常数)．

(1)建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；

(2)若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．