20. (本小题满分16分)数列中,,其前项的和为.求证：.

19.解: ，对反复使用上述关系式，得

　 ，　　　　　　 ①

在①式两端同乘，得

　　　　 ②

②①，得

　　　　　　 ．

即．

如果记，，

则．

其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．

19．(本小题满分16分)

公民在就业的第一年就交纳养老储备金，以后每年交纳的数目均比上一年增加，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．

求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．

18.解：(I)证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．

因为，所以；

又因为当时，时，，所以当时，．

从而，集合中元素的个数最多为，

即．

(II)解：，证明如下：

(1)对于，根据定义，，，且，从而．

如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

(2)对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

由(1)(2)可知，．

18. (本小题满分14分)

，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

(I)对任何具有性质的集合，证明：；

(II)判断和的大小关系，并证明你的结论．

17. 解：(Ⅰ)∵，

　　　　 ∴，

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　……2分

∴，

∴，令，得，　　　　　 ……4分

列表如下：

		2
		0
		极小值

∴在处取得极小值，

即的最小值为．　　　　　　　 ……6分

，

∵，∴，又，

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知，的最小值是正数，

∴对一切，恒有，　　　　　 ……10分

从而当时，恒有，　　　　　　　　　　　 ……11分

故在上是增函数．　　　　　　　 　　　　　……12分

证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知：在上是增函数，

　　 ∴当时，，　　　　　　　　　　　　　 ……13分

　　 又，　　　　　　　　　　　 ……14分

∴，即，　　　　　　　 ……15分

∴

故当时，恒有．　　　　　　　 ……16分

17. (本小题满分15分)设常数，函数

(1)令，求的最小值，并比较的最小值与0的大小；

(2)求证：在上是增函数；

(3)求证：当时，恒有．

21．解：(1)解方程得，，---------------------------------------------1分

∴---------------------------------------------------------------------------------------------2分

，

∴，------------------------------------------------------------------------------------------3分

,∴---------------------------------------------------------4分

(2)由得

即----------------------------------------------------------------6分

当时，于是＝()

∴--------------------------------------------------------------------9分

(3)当时，结论成立；------------------------------------------10分

当时，有

＝----------------------------------------12分

∵

∴

＝

　∴对有----------------------------------------------14分

21．(本题满分14分)

．

　　　 (1)求的值；　　　　　　　

(2)设，求证：；

　　　 (3)求证：对有 w。.w.．

20．解：(1)当时，＝

∴当时， -----------------------------------------------------------------2分

当时，＝

∵函数在上单调递增　 ∴------------------------------4分

由得又

∴当时，，当时，.----------6分

(2)函数有零点即方程有解

即有解-------------------------------------------------------------------------------7分

令

当时

∵--------------------------------------------------------------------9分

∴函数在上是增函数，∴---------------------------------------------10分

当时，

∵--------------------------------12分

∴函数在上是减函数，∴-----------------------------------------13分

∴方程有解时

即函数有零点时---------------------------------------------------------------------------14分