4．解：(1)建立如图所示的坐标系，则，，，

所以，故，，共面．

又它们有公共点，所以四点共面．

(2)如图，设，则，

而，由题设得，

得．因为，，有，

又，，所以，，从而，．

故平面．

(3)设向量截面，于是，．

而，，得，，解得，，所以．

又平面，于是．故．

4．如图，已知是棱长为3的正方体，

点在上，点在上，且，

(1)求证：四点共面；

(2)若点在上，，点在上，

，垂足为，求证：面；

(3)用表示截面和面所成锐二面角大小，求。

3．解：(Ⅰ)以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，则，．设，则，

又设，则，

从而，即．

又，所以是异面直线与的公垂线．

设，则．因四棱锥的体积为

．

而直三棱柱的体积为．

由已知条件，故，解得，即．

从而，，．

由，有，即　　　 (1)

又由得．　　 (2)

联立(1)，(2)，解得，，即，得．

故．

(Ⅱ)由，得，，过作，垂足为，连接，

设，则，因为，故………①

因且得，即…………②

联立①②解得，，即．

则，． ．

又，故，因此为所求二面角的平面角．又，从而，故，为直角三角形，所以．

3．如图，在直三棱柱ABC-中， AB = 1,

；点D、E分别在上，且，

四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5。

(1)求异面直线DE与的距离；

(2)若BC =，求二面角的平面角的正切值。

2.　　　 如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.

(Ⅰ)求与底面所成角的大小；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法　 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法　

答案：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．

又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．

连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角．

∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．

∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．　　　　　　　 ……6分

(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．

建立空间直角坐标系如图，则, ．

由M为PB中点，∴．

∴．

∴，

．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．　 ∴PA⊥平面DMC．　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

(III)．令平面BMC的法向量，

则，从而x+z=0；　 ……①,　 ，从而． ……②

由①、②，取x=−1，则．　 ∴可取．

由(II)知平面CDM的法向量可取，

∴． ∴所求二面角的余弦值为－．　 ……6分

法二：(Ⅰ)方法同上　　　　　 　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)取的中点，连接，由(Ⅰ)知，在菱形中，由于，则，又，则，即，

又在中，中位线，，则，则四边形为，所以，在中，，则，故而，

则

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，则为二面角的平面角，在中，易得，，

故，所求二面角的余弦值为

1.　　　 如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，点D是AB的中点，　 (I)求证：AC⊥BC₁；　 (II)求证：AC ₁//平面CDB₁；

解析：(1)证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；(2)证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.

答案:解法一：(I)直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC₁；

(II)设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，

∴ DE//AC₁，∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴ AC₁//平面CDB₁；

解法二：∵直三棱柱ABC－A₁B₁C₁底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C₁C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C₁C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0，0)，A(3,0，0)，C₁(0,0，4)，B(0,4，0)，B₁(0,4，4)，D(，2,0)

(1)∵＝(－3,0，0)，＝(0，－4,0)，∴•＝0，∴AC⊥BC₁.

(2)设CB₁与C₁B的交战为E，则E(0,2，2).∵＝(－，0,2)，＝(－3,0，4)，∴，∴DE∥AC₁.

点评：2．平行问题的转化：

面面平行线面平行线线平行；

22. 已知二次函数经过点(0，10)，其导数，当()时，是整数的个数记为。

　　 (1)求数列的通项公式；

　　 (2)令，求数列的前n项()项和。

21.设椭圆的两个焦点是、。Ⅰ)若在直线上存在一点，且点在椭圆上，使得取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；

　 Ⅱ)在条件(Ⅰ)下的椭圆方程，是否存在斜率为()的直线与椭圆交于不同的两点、，满足，且使得过点和的直线有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

20． 设事件A发生的概率为p，若在A发生的条件下B发生的概率为p′，则由A产生B的概率为p·p′．根据这一事实解答下题．

一种掷硬币走跳棋的游戏:棋盘上有第0、1、2、…、100，共101站，设棋子跳到第n站时的概率为p，一枚棋子开始在第0站(即p＝1)，由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站．直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束．已知硬币出现正反面的概率都为．

(1)求p₁，p₂，p₃，并根据棋子跳到第n+1站的情况，试用p_n，p_n－1表示p_n+1；

(2)求玩该游戏获胜的概率

19.如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2、1。

(1)求证：是定值；

(2)已知P是SC的中点，且SO=3，问在棱SA上是否存在一点Q，使异面直线OP与BQ所成的角为？若不存在，则说明原因；若存在，则求出AQ的长。