2.如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是B₁D₁的中点，

求证：B₁C∥平面ODC₁.

1.已知六面体ABCD-A′B′C′D′是平行六面体.

(1)化简++,并在图上标出其结果；

(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′

上的分点，设=++，试求,,的值.

5.在四面体O-ABC中，=a,=b, =c,D为BC的中点,E为AD的中点，则=　　　　　 (用a,b,c表示).

例题精讲

例1　 如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA₁，BC，C₁D₁的中点，试用a，b，c表示以下各向量：　

(1)；(2)；(3)+.

例2　 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，

(1)求证：E、F、G、H四点共面；

(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有=(+++).

例3　 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，

点M、N分别是AB、CD的中点.

(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；

(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.

巩固练习

4.已知A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是　　　 .

3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则x=　　　 ,y=　　　　 .

2.下列是真命题的命题序号是　　 .

①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量，②若|a|=|b|，

则a，b的长度相等而方向相同或相反，③若向量，满足||＞||，且与同向，则

＞，④若两个非零向量与满足+=0，则∥

1.有4个命题：①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；③若=x+y，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则=x+y.其中真命题的个数是　　　 .

12.已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外的一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.

(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；

(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断.

11.如图所示，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐

标是(，，0)，点D在平面yOz内，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.

(1)求的坐标；(2)设和的夹角为，求cos的值.

10.如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M为AA₁的中点，N为A₁B₁上的点，且满足A₁N=NB₁，P为底面正方形A₁B₁C₁D₁的中心.求证：MN⊥MC，MP⊥B₁C.