(三)解答题

　11．确定函数y＝x+(x＞0)的单调区间，并用定义证明．

　12．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)+f(y)，f(3)＝1，求解不等式f(x)+f(x－2)＞1．

13．求函数在区间上的最大值.

14．求函数在上的最大值和最小值.

(二)填空题

　8．函数y＝的单调区间为___________．

　9．函数f(x)＝2 x²－3｜x｜的单调减区间是___________．

10．已知函数 的单调递增区间是　　　　　　　 　 。

(一)选择题

1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　 )

A．　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　 D．

2．已知函数，则下列区间不是递减区间的是(　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　 C．　　　 D．

3．设函数是上的减函数，则有(　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

4．函数，当时为增函数，时为减函数，则等于(　 )

A．－3　　　　　　　　　　　 B．13　　　　　　　　　　　　　　　　　 C．7　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．由m而定

5．已知是上的减函数，若，则(　 )

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

6．函数 ，则的最大值与最小值分别为(　 )

A．10,6　　　　　　　　　　　 B．10,8　　　　　　　　　　　 C．8,6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．以上都不对

　 7．函数f(x)＝－x²+2(a－1)x+2在(－∞,4)上是增函数，则a的范围是(　)

A．a≥5　　　　　　　　　　 B．a≥3　　　　　　　　　　 C．a≤3　　　　　　　　　　 D．a≤－5

［考题1］二次函数的单调性如何？

［解析］由二次函数的图象可知：

(1)当时，二次函数在上递减，在上递增；

(2)当时，二次函数在上递增，在上递减。

［点评］同样可以知道：一次函数，反比例函数的单调性为：当时，函数在R上递增，函数在R上递减，函数在和上递增。

［考题2］求下列函数的增区间与减区间。

(1)；(2).

［解析］(1)令先做出的图象，保留其在轴及轴上方，就得到的图象，如图所示。由图象易得：

递增区间是和

递减区间是和

(2)当且时，得且，函数

当且时，

得且时，函数

∴增区间是和；减区间是和

［点评］利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间。

［考题3］(1)求函数的最小值；

(2)已知，对于函数，若时，，求的值。

［解析］(1)由，且得，函数的定义域为.而函数和在上都是增函数。则得也是增函数，当时，它取得最小值，所以的最小值为1。

(2)函数表示开口向上,顶点坐标是,对称轴是的抛物线。

因此，当时，是增函数。

∴当时，取最大值，而，

故，即

整理得，解得

∵，∴

［点评］有关二次函数的问题，要特别注意二次函数的对称轴是否在给定的区间上？应该截取二次函数图象的哪一部分？从而解决问题。

［考题4］(1)证明函数在定义域上是减函数。

(2)证明函数在R上是增函数。

［解析］(1)的定义域为，设，则，且

∵，

∴，即

∴在它的定义域上是减函数。

(2)设，则，

∵，∴，

即∴在R上是增函数。

［点评］在“作差变形”的过程中，我们昼化成几个最简因式的乘积，也可以把其中的因式化成几个完全平方式的和形式，这也是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种方法。

［例5］已知函数的定义域为R，且满足，且*(为常数)在区间上是减函数，判断并证明在区间上的单调性。

［分析］从所求结果入手，设，只要再判断与的大小即可。

［解］设，

则，∵在区间上是减函数，

∴，即，

则又∵，

∴，即

∴，即,

∴在区间上是减函数。

［考题6］已知在定义域上是减函数，且，求的取值范围。

［分析］充分利用单调性构造关于的不等式，同时注意定义域的限制。

［解析］由题意可知，

即解得

［点评］(1)对于抽象函数一类问题的考查着重在基本的性质和理论知识上，有时亦可举出满足条件的特例函数来帮助解答或寻找思路。(2)要注意化归和转化的数学思想的应用。

3．函数的最大(小)值

(1)函数最大值的定义

对于最大值定义的理解

①M首先是一个函数值，它是值域的一个元素。如的最大值为0，有，注意对(1)②中存在一词的理解；

②对于定义域内全部元素，都有成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式；

③这两条缺一不可，若只有(1)①，M不是最大值，如，对任意，都有成立，但1不是最大值；否则大于零的任意实数都是最大值了；最大值的核心就是不等式，故不能只有(1)①；

④若将(1)中的“”改为“”，则需将最大值定义中的“最大值”改为“最小值”。这就是函数的最小值的定义。

2．单调性与单调区间

(1)这个区间可以是整个定义域。

(2)这个区间也可以是定义域的真子集。

(3)有的函数不具有单调性。

如函数的定义域为R，但不具有单调性；再如，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。

函数单调性的常用判断方法

(1)图象法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性。

(2)直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。

［注意］当单调递增(或递减)区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，而应该用“和”或“，”连接。

1．增函数和减函数

证明函数的单调性其步骤为：

(1)取值：设为该区间内任意的两个值，且；

(2)作差变形：作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方式变形；

(3)定号：确定最值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论。

(4)判断：根据定义作出结论。

［注意］在用定义法证明不等式时，为了确定符号，一般是将尽量分解出因式，再将剩下的因式化成积商的形式，或化成几个非负实数的和等，这样有利于该因式的符号的确定。

11、定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围.

12﹡、设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有.　　 (I)设，求；　　 (II)证明是周期函数.

10、已知，(1)判断的奇偶性；(2)证明：

9、判断下列函数的奇偶性

1)　　2)