[例4] 某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.

(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n年与第(n－1)年(n∈N且n≥2)的产量之间的关系式(不要求证明).

(2)由于环境污染及池塘老化等因素，致使每年将损失年产量的10%，这样以后每年的产量是否始终逐年提高?若是，请予以证明；若不是，请说明从第几年起产量将不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)

解：(1)不妨设改进技术后第n年的产量为a_n，则

a₁=a(1+200%)=3a,a₂=a₁(1+×200%)=6a,

a₃=a₂(1+×200%)=9a,a₄=a₃(1+×200%)=a.

依此，得a_n=a_n－1(1+×200%)=a_n－1［1+()^n－2］(n∈N^*,n≥2).

(2)设遭损失后第n年的产量为b_n,则

b₁=a₁(1－10%),b₂=b₁(1+×200%)(1－10%),…,

b_n=b_n－1［1+()^n－2］(1－10%).

令b_n＜b_n－1,则0.9［1+()^n－2］＜12^n－2＞9,

∴n－2＞,即n＞5.17.由n∈N^*知n≥6.

故从第6年起，产量将不如上一年.

评注：这是一道数列型应用题，审题时应抓住从第二年开始，"以后每年的增长率是前一年增长率的一半"这个关键，把它抽象为数列的通项，容易求出递推关系式a_n=a_n－1［1+　 ()^n－2］(n∈N^*且n≥2),即建成了递推模型.第(2)问归结为一个指数不等式问题，利用取对数法很容易求得这个数学问题的解.

●试题详解

高中同步测控优化训练(十一)

第三章　数列(一)(A卷)

说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.

第Ⅰ卷(选择题　共30分)

[例3] 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n,已知a₃=12,S₁₂＞0,S₁₃＜0.

(1)求公差d的取值范围;

(2)指出S₁,S₂,…,S₁₂中哪一个值最大，并说明理由.

(1)解：依题意有

由a₃=12,得a₁=12－2d.

又－＜d＜－3.

(2)解法一：由d＜0,可知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃.

因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得a_n＞0,a_n+1＜0,则S_n就是S₁,S₂,…,S₁₂中的最大值.

由于S₁₂=6(a₆+a₇)＞0,S₁₃=13a₇＜0,即a₆+a₇＞0,a₇＜0,由此得a₆＞－a₇＞0.

故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大.

解法二：S_n=na₁+d

=n(12－2d)+n(n－1)d=n²－(－12)n

=［n－(5－)］²－［(5－)］².

∵d＜0,∴［n－(5－)］²最小时，S_n最大.

当－＜d＜－3时，6＜(5－)＜6.5.

∴n=6时，［n－(5－)］²最小.

∴S₆最大.

解法三：由d＜0,可知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃.

因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得a_n＞0,a_n+1＜0,则S_n就是S₁,S₂,…,S₁₂中的最大值.

由已知

故在S₁,S₂,…,S₁₂中S₆的值最大.

评注：第(2)题用了三种方法来解，解法一与解法三类似，只是确定a₆＞0,a₇＜0的方法不同，解法一技巧性强,解法二是把问题转化成了有限制条件的一元二次函数最值问题.

[例2] 已知等差数列{a_n}为等差数列，p≠q,a_p=q,a_q=p,求a_p+q.

分析：可先转化为a₁和d去探索，也可利用等差数列性质求解，还可利用一次函数图象来解.

相减得(p－q)d=q－p,∵p≠q,∴d=－1.代入①,

得a₁=p+q－1.故a_p+q=a₁+(p+q－1)d=0.

解法二：a_p=a_q+(p－q)d,∴q=p+(p－q)d,以下同解法一.

解法三：不妨设p<q,由于a_n为关于n的一次函数图象上均匀排列的一群孤立点.故(p,a_p)、(q,a_q)、(p+q,a_p+q)三点在同一直线上，如图.

由△ABE∽△BCF得(设a_p+q=m)

∴1=.设m=0,得a_p+q=0.

[例1] 等差数列{a_n}的前n项和记为S_n.已知a₁₀=30,a₂₀=50.

(1)求通项a_n;

(2)若S_n=242,求n.

分析：在等差数列中，有a₁、a_n、n、d、S_n五个基本量，若已知其中的任何三个，总可以求出另外两个的值.

解：(1)由a_n=a₁+(n－1)d,a₁₀=30,a₂₀=50,

得方程组

解得a₁=12,d=2.

所以a_n=2n+10.

(2)由S_n=na₁+d,S_n=242,得方程12n+×2=242.

解得n=11或n=－22(舍去).

评注：本题是一个最基础的数列题，内容上只涉及等差数列的通项和前n项和.它主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及构造方程的数学方法，考查运算能力.知识点较为单一，但高考中仍不乏这类考查目的明确、适应所有考生的中低档题.

19.(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解:(1)当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为=12，所以这时租出了88辆.

(2)设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为

f(x)=(100-)(x-150)- ×50,

整理得f(x)=-+162x-2100

=- (x-4050)²+307050，

∴当x=4050时，f(x)最大，最大值为307050 元.

18.(本小题满分12分)讨论函数f(x)=在x∈(-1,1)上的单调性.

解:设-1＜x₁＜x₂＜1，则

f(x₁)-f(x₂)=－=.

∵x₁x₂+1＞0,x₂-x₁＞0,x₁²-1＜0,x₂²-1＜0,

∴当a＞0时，f(x₁)-f(x₂)＞0,即f(x₁)＞f(x₂)，f(x)为减函数；

当a＜0时，f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)，f(x)为增函数；

当a=0时，f(x₁)-f(x₂)=0，即f(x₁)=f(x₂),f(x)为常函数.

17.(本小题满分12分)已知函数f(x)= (x≠-a,a≠).

(1)求f(x)的反函数；

(2)若这两个函数的图象关于y=x对称，求a的值.

解:(1)设y=,则y(x+a)=3x+1，

整理得(y-3)x=1-ay.

若y=3,则a=,与已知矛盾，

∴x=.

故所求反函数为f^-1(x)= 　(x≠3).

(2)依题意得f^--1(x)=f(x),则=,

整理得3x²-8x-3=-ax²+(1-a²)x+a,

比较两边对应项的系数，有

故a=-3.

16.(本小题满分10分)求函数y=在区间［2,6］上的最大值和最小值.

分析:由函数y= (x∈［2,6］)的图象(如上图)

可知,函数y=在区间［2,6］上递减.

所以,函数y=在区间［2,6］的两个端点上分别取得最大值和最小值.

解:设x₁、x₂是区间［2,6］上的任意两个实数,且x₁<x₂,则

f(x₁)-f(x₂)= -

=

=.

由2<x₁<x₂<6,得x₂-x₁>0,(x₁-1)(x₂-1)>0,

于是f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂).

所以函数y=是区间［2,6］上的减函数.

因此,函数y=在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值,即当x=2时,y_max=2;当x=6时,y_min=.

15.(本小题满分8分)设当x≥0时，f(x)=2;当x<0时，f(x)=1.又g(x)= (x>0),写出y=g(x)的表达式，并画出其图象.

分析:令x-1=0,x-2=0,得x=1或2.过两个分界点把x>0分成三部分,先求出每一部分的解析式,再得出分段函数的解析式.

解:当0<x<1时，x-1<0,x-2<0，

∴g(x)= =1.

当1≤x<2时，x-1≥0,x-2<0,

∴g(x)==.

当x≥2时，x-1>0,x-2≥0,

∴g(x)= =2.

故y=g(x)=

其图象如上图.

14.已知点(-2，y₁)、(,y₂)、(,y₃)在函数y=2x²+8x+c的图象上，则y₁、y₂、y₃从小到大依次为_______.

解析:∵y=2x²+8x+c在［-2，+∞)上是增函数，-2＜＜，

∴y₁＜y₃＜y₂.

答案:y₁＜y₃＜y₂

评注:本题也可先求出y₁、y₂、y₃，再比较大小.