2、函数的通性

　 (1)奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，(f(x)≠0)。

奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。

函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。

利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。

　 (2)单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质(实质上是不等式性质)；④复合函数单调性判断法则。

函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。

函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。

　 (3)周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2|a-b|。

　 (4)反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数，函数f(x)的反函数f^-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f^-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。

设函数f(x)定义域为A，值域为C，则

　 f^-1[f(x)]=x，x∈A

　 f[f^-1(x)]=x，x∈C

1、函数的概念：

　 (1)映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。

　 (2)函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。

求函数定义域，通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。

函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。

求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值(极值)更加方便。

在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。

2、函数性质的运用。

1、函数的定义及通性；

　　 《函数》单元复习

4、(案中)由原点O向三次曲线　 引切线，切点为P₁(O，P₁两点不重合)，再由P₁引此曲线的切线，切于点P₂(P₁，P₂不重合)，如此继续下去，得到点列：．

(1)求；

(2)求与满足的关系式；

(3)　　　 若，试判断与的大小关系，并说明理由．

解：(1)由得过曲线上的点P₁的切线L₁的方程为又∵切线L₁过原点O，有化得．

(2)过曲线上的点处的切线方程为

过点得

由于，分解因式并约简，得

∴

∴．

(3)由(2)得：，∴

故有数列是首项为，公比为的等比数列．

∴，∴

∵，∴当为偶数时，；当为奇数时．

3、(案中)对于函数(，为函数的定义域)，若同时满足下列条件：①在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域是．那么把称为闭函数．

(1)求闭函数符合条件②的区间；

(2)判断函数是否为闭函数？并说明理由．

(3)若是闭函数，求实数的取值范围．

解：(1)由在上为减函数，得，可得，，所求区间是．

(2)∵f＇(x)==,∴当，f＇(x)≤0，f(x)为减函数，当，f＇(x)≥0，f(x)为增函数，∴f(x)在(0，+∞)上不是单调函数。所以不是闭函数。

(3)设函数符合条件②的区间为，则

，故，是方程的两个实根，

命题等价于有两个不等实根．

当时，　 解得，

；当时，这时，无解．

所以的取值范围是．

2、(案中)A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子(x、y、z≥0，)，B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜.

　 (1)用x、y、z表示B胜的概率；

　 (2)当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？

解：(1)显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：

①A₁：“A、B均取红球”；②A₂：“A、B均取白球”；③A₃：“A、B均取黄球”.

(2)由(1)知，

于是，即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为

1、(案中)已知平面上一点C(-1，0)和一条直线=，P为该平面上一动点，作PQ⊥，垂足为Q，()()=0

(1)　　　 问点P在什么曲线上，求出该曲线的方程。

(2)　　　 点O在坐标原点，A，B两点在点P的轨迹上，若()，求λ的取值范围。

解(1)：设P(x，y)∵()()=0

∴=0，代入得(x+4)²=4((x+1)²+y²)

化简得：，所以点P在椭圆上。

(2)∵ ∴移项得，即和共线

∴A,B,C三点共线　 ∵在椭圆方程中a²=4,b²=3　 ∴c²=1,c=1，C(-1，0)恰好为椭圆的左焦点，由图形可知当A，B两点分别为椭圆长轴的两个顶点时，取最值，∵a+c=3, a-c=1∴λ_max=

∴λ∈[]

18. 如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，点E，M分别为A₁B，C₁C的中点，过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N.(Ⅰ)求证:EM//平面A₁B₁C₁D₁;(Ⅱ)求二面角B-A₁N-B₁的正切值.