19.( 本小题共14分)

设椭圆=1(a＞b＞0)的焦点为F₁、F₂，P是椭圆上任一点，若∠F₁PF₂的最大值为.　

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)设直线l与椭圆交于M、N两点，且l与以原点为圆心，短轴长为直径的圆相切.已知的最大值为4，求椭圆的方程和直线l的方程.

解：∵椭圆方程为=1(a>b>0)

(1)|PF₁|+|PF₂|=2a

cosF₁PF₂=　 3分∴e=　 5分

(2)∵e=，∴a²=4b².

∴椭圆方程为y²+4x²=4b²　　　　　　　　　 6分

该直线l：y=kx+m.

∵直线l与圆x²+y²=b²相切，∴m²=b²(1+k²)　　 ①

从得(4+k²)x²+2kmx+m²－4b²=0 8分

∵|MN|=4b·≤2b

当且仅当k=±时取等号.　　　　　　　　　　 10分

∴l：y=±. 12分椭圆方程为：=1.　　　　 14分

18.( 本小题共13分) 已知函数，其中

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

(Ⅱ)若对于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围.

(Ⅰ)，

当a≤0时，显然>0(x≠0),这时f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)内是增函数；

当a>0时，令=0，解得x=，

当x变化时，，的变化情况如下表：

x	(-∞,-)	-	(-,0)	(0, )		(,+∞)
	+	0	-	-	0	+
		极大值			极小值

所以在(-∞,-)，(,+∞)内是增函数，在(-,0)，(0, )内是减函数

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在[,1]上的最大值为与f(1)中的较大者，对于任意的a∈[,2]，不等式f(x)≤10在[,1]上恒成立，当且仅当,即，对任意的a∈[,2]成立.从而得b≤,所以满足条件的b的取值范围是(-∞, ]

17．(本小题14分)

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点.

(I)求证：BD₁∥平面C₁DE；

(Ⅱ)求二面角C₁-DE-C的大小；

(Ⅲ)在侧棱BB₁上是否存在点P，使得CP⊥平面C₁DE？证明你的结论.

(I)证明：连结CD₁，与C₁D相交于O，连接EO.

　　　　 ∵CDD₁C₁是矩形，∴O是CD₁的中点，

又E是BC的中点，∴EO∥BD₁.………………2分

又BD₁平面C₁DE，EO平面C₁DE，

∴BD₁∥平面C₁DE.……………………………4分

　(II)解：过点C作CH⊥DE于H，连接C₁H.

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面ABCD，

∴C₁H⊥DE，

∠C₁HC是二面角C₁-DE-C的平面角.……………7分

　　　　 根据平面几何知识，易得H(0.8，1.6，0).

　　　　 ………9分

　∴二面角C₁-DE-C的大小为ArCCOs…………………………………10分

　 (III)解：在侧棱BB₁上不存在点P，使得CP⊥平面C₁DE……………………11分

　　　　 证明如下：　　　　 假设CP⊥平面C₁DE，则必有CP⊥DE.　 设P(2，2，)，其中0≤≤3，

　　 则　　　　 ∵，这显然与CP⊥DE矛盾.

　　　　 ∴假设CP⊥平面C₁DE不成立，

　　　　 即在侧棱BB₁上不存在点P，使得CP⊥平面C₁DE.………………………14分

16. (本小题共13分)

已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.

(Ⅰ)求圆C的方程；

(Ⅱ)若直线与圆C相切，求证：

解：(I)设圆C半径为，由已知得

　　∴，或　

∴圆C方程为或.

(II)直线的方程为，∵直线与圆相切,

∴　 ∴左边展开，整理得，

∴∵∴，　

∴

∴ 或

∵∴，∴

15.解：(I)∵，∴＝0.

∴　　 ∵

∴∵∴　　　　　　　　　

∴∵∴　

(II)△ 中，∵

∴.∴∴∴△的面积 　

15．(本小题共13分)

在中，所对边分别为.已知,且.

(Ⅰ)求大小；

(Ⅱ)若求的面积S的大小.

14．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数．有下列函数：

①；　 ②　 ③　 ④，

其中是一阶整点函数的是__________.(写出所有正确结论的序号)①, ④

13.右图为某一几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.　 沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合于，这个几何体的体积为__________，需要__________个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体.

解：它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥(如图)．

　 　　　需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.

12. 抛物线上的点到抛物线的准线距离为，到直线的距离为，则的最小值是__________.

11.已知正数满足，则使不等式恒成立的实数的范围是__________.