37．(辽宁•理•18题)如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为。

(I)证明：；

(II)求的长，并求点到平面的距离。

36．(江西•理•20题)右图是一个直三棱柱(以A₁B₁C₁为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3。

(I)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；

(II)求二面角B-AC-A₁的大小；

(Ⅲ)求此几何体的体积；

解法一：

(1)证明：作交于，连．

则．

因为是的中点，

所以．

则是平行四边形，因此有．

平面且平面，

则面．

(2)如图，过作截面面，分别交，于，．

作于，连．

因为面，所以，则平面．

又因为，，．

所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因为，所以，故，

即：所求二面角的大小为．

(3)因为，所以

．

．

所求几何体体积为

．

解法二：

(1)如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，因为是的中点，所以，

．

易知，是平面的一个法向量．

因为，平面，所以平面．

(2)，，

设是平面的一个法向量，则

则，得：

取，．

显然，为平面的一个法向量．

则，结合图形可知所求二面角为锐角．

所以二面角的大小是．

(3)同解法一．

35．(江苏•理•18题)如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且。

(I)求证：四点共面；(4分)

(II)若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面；

(Ⅲ)用表示截面和面所成锐二面角大小，求。

34．(湖南•理•18题)如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且．连结，如图2．　

(I)证明：平面平面；

(II)当，，时，求直线和平面所成的角；

解：解法一：(I)因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．

(II)过点作于点，连结．

由(I)的结论可知，平面，

所以是和平面所成的角．

因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，故．

因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．

由题设，，，则．所以，，

，．

因为平面，，所以平面，从而．

故，．

又，由得．

故．

即直线与平面所成的角是．

解法二：(I)因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．

(II)由(I)可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图)，

由题设，，，则，

，，相关各点的坐标分别是，

，，．

所以，．

设是平面的一个法向量，

由得故可取．

过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上．

因为，所以，．

设()，由，解得，

所以．

设和平面所成的角是，则

．

故直线与平面所成的角是．

33．(湖北•理•18题)如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ。

(Ⅰ)求证：平面VAB⊥平面VCD ；

(Ⅱ)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；

分析：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

解答：解法1：(Ⅰ)，是等腰三角形，又是的中点，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

(Ⅱ) 过点在平面内作于，则由(Ⅰ)知平面．

连接，于是就是直线与平面所成的角．

在中，；

设，在中，，．

，

，．

又，．

即直线与平面所成角的取值范围为．

解法2：(Ⅰ)以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

于是，，，．

从而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

(Ⅱ)设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，

则由．

得

可取，又，

于是，

，，．

又，．

即直线与平面所成角的取值范围为．

解法3：(Ⅰ)以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．

从而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

(Ⅱ)设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，

则由，得

可取，又，

于是，

，，．

又，，

即直线与平面所成角的取值范围为．

解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．设．

(Ⅰ)，

，

即．

，

即．

又，平面．

又平面，平面平面．

(Ⅱ)设直线与平面所成的角为，

设是平面的一个非零法向量，

则取，得．

可取，又，

于是，

，关于递增．，．

即直线与平面所成角的取值范围为．

32．(广东•理•19题)如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积。

(Ⅰ)求V(x)的表达式；

(Ⅱ)当x为何值时，V(x)取得最大值？

(Ⅲ)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；

31．(福建•理•18题)如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点。

(Ⅰ)求证：AB₁⊥面A₁BD；

(Ⅱ)求二面角A－A₁D－B的大小；

(Ⅲ)求点C到平面A₁BD的距离；

分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．

解答：解法一：(Ⅰ)取中点，连结．

为正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

连结，在正方形中，分别为

的中点，

，

．

在正方形中，，

平面．

(Ⅱ)设与交于点，在平面中，作于，连结，由(Ⅰ)得平面．

，

为二面角的平面角．

在中，由等面积法可求得，

又，

．

所以二面角的大小为．

(Ⅲ)中，，．

在正三棱柱中，到平面的距离为．

设点到平面的距离为．

由得，

．

点到平面的距离为．

解法二：(Ⅰ)取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

(Ⅱ)设平面的法向量为．

，．

，，

令得为平面的一个法向量．

由(Ⅰ)知平面，

为平面的法向量．

，．

二面角的大小为．

(Ⅲ)由(Ⅱ)，为平面法向量，

　　　 ．

　　　 点到平面的距离．

30．(安徽•理•17题)如图，在六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2。

(Ⅰ)求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；

(Ⅱ)求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；

(Ⅲ)求二面角A－BB1－C的大小(用反三角函数值圾示)；

29．(北京•理•16题)如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

(I)求证：平面平面；

(II)当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；

(III)求与平面所成角的最大值．

解法一：

(I)由题意，，，

是二面角是直二面角，

又二面角是直二面角，

，又，

平面，

又平面．

平面平面．

(II)作，垂足为，连结(如图)，则，

是异面直线与所成的角．

在中，，，

．

又．

在中，．

异面直线与所成角的大小为．

(III)由(I)知，平面，

是与平面所成的角，且．

当最小时，最大，

这时，，垂足为，，，

与平面所成角的最大值为．

解法二：

(I)同解法一．

(II)建立空间直角坐标系，如图，则，，，，

，，

．

异面直线与所成角的大小为．

(III)同解法一

28．(全国Ⅱ•理•19题)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。

(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小；

解法一：

(1)作交于点，则为的中点．

连结，又，

故为平行四边形．

，又平面平面．

所以平面．

(2)不妨设，则为等

腰直角三角形．

取中点，连结，则．

又平面，所以，而，

所以面．

取中点，连结，则．

连结，则．

故为二面角的平面角

．

所以二面角的大小为．

解法二：(1)如图，建立空间直角坐标系．

设，则

，

．

取的中点，则．

平面平面，

所以平面．

(2)不妨设，则．

中点

又，，

所以向量和的夹角等于二面角的平面角．

　　　 ．

所以二面角的大小为．