8．(北师大版第132页A组第4题)两角和与差及二倍角的三角函数

已知，，求，的值．

变式1：在中，已知，，．

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求的值．

(Ⅰ)解：在中，，

由正弦定理， ．

所以．

(Ⅱ)解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，

于是，

，

．

∴　

．

变式2：在中，，．

(Ⅰ)求角的大小；

(Ⅱ)若最大边的边长为，求最小边的边长．

解：(Ⅰ)，

．

又，．

(Ⅱ)，

边最大，即．

又，

角最小，边为最小边．

由且，

得．由得：．

所以最小边．

变式3：已知，且,

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求.

解：(Ⅰ)由，得

∴，于是

(Ⅱ)由，得

又∵，∴

由得：

所以．

7．(北师大版第66页B组第2题)同角三角函数的基本关系

　　 已知，求．

变式1：已知，求的值．

解：∵ 　，

∴　

即　

∴　 当时，；

　　 当时，．

变式2：已知，那么角是(　)．

A．第一或第二象限角　　　　　　　　　　 B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角　　　　　　　　　　 D．第一或第四象限角

答案选C．

变式3：是第四象限角，，则(　　 )．

A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

答案选D．

6．(北师大版第60页A组第6题)三角函数性质

求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时的值的集合．

(1) ；　　　 (2)

变式1：已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于　　　　 (　 　　)

　　 (A)　　(B)　　(C)2　　(D)3

答案选B

变式2：函数y=2^sinx的单调增区间是(　　 )

A．［2kπ－，2kπ+］(k∈Z)

B．［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)

C．［2kπ－π，2kπ］(k∈Z)

D．［2kπ，2kπ+π］(k∈Z)

答案选A．因为函数y=2^x为增函数，因此求函数y=2^sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间．

变式3：关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题：

①对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；

②不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；

③存在，使f(x)是奇函数；

④对任意的，f(x)都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。

答案：①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)

解析：当=2kπ，k∈Z时，f(x)=sinx是奇函数．当=2(k+1)π，k∈Z时f(x)=－sinx仍是奇函数．当=2kπ+，k∈Z时，f(x)=cosx，或当=2kπ－，k∈Z时，f(x)=－cosx，f(x)都是偶函数．所以②和③都是正确的．无论为何值都不能使f(x)恒等于零．所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数．①和④都是假命题．

5．(北师大版第60页B组第1题)三角函数图像

　　 函数一个周期的图像如图所示，试确定A，的值．

变式1：已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为(　)

A．，　　　　　　　　　 B．，　　　　　　

C．，　　　　　　　　 D．，

答案选A

变式2：函数在区间的简图是(　)

答案选A

　 变式3：如图，函数

　 　 　 的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．

求和的值．

解：将，代入函数得：　　　　　

　 ，

因为，所以．

又因为，，，所以，

因此．

4．(北师大版第60页A组第4题)三角函数图像变换

　　 将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？

变式1：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？

解：(1)先将函数图象上各点的纵坐标扩大为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到函数的图象；

(2)再将函数上各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象；

(3)再将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．

变式2：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？ 　

解：(1)先将函数图象上各点的纵坐标缩小为原来的(横坐标不变)，即可得到函数的图象；

(2)再将函数上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；

(3)再将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．

变式3：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？

解：

另解：

(1)先将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；

(2)再将函数上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；

(3)再将函数图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到函数的图象．

3．(北师大版第69页练习2第2题)解三角形的实际应用

　　某观察站B在城A的南偏西的方向，由A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B31km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km。这个人要走多少路才能到达A城？

变式1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向　

相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船

立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，

相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少

度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)？

解析：连接BC,由余弦定理得：

BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700.

即BC=10

　∵，

∴sin∠ACB=，

　　 ∵∠ACB<90°，∴．

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．

变式2：如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．

　　 解：在中，．

由正弦定理得：．

所以．

在中，．

变式3：如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

解法一：如图，连结，由已知，

，

，

又，

是等边三角形，

，

由已知，，

，

在中，由余弦定理，得：

．

．

因此，乙船的速度的大小为(海里/小时)．

答：乙船每小时航行海里．

解法二：如图，连结，由已知，，，

，

．

在中，由余弦定理，

．

．

由正弦定理，得：

，

，即，

．

在中，由已知，由余弦定理，得：

．

，

乙船的速度的大小为海里/小时．

答：乙船每小时航行海里．

2．(北师大版第63页A组第6题)三角形中的几何计算

在中，，，的平分线交过点且与平行的线于点．求的面积．

变式1：已知的周长为，且．

(I)求边的长；

(II)若的面积为，求角的度数．

解：(I)由题意及正弦定理，得，

，

两式相减，得．

(II)由的面积，得，

由余弦定理，得

　　　　　　　　　　　　　　 　，

所以．

变式2：△ABC中，则△ABC的周长为(　 )．

A．　　　　 B．

C．　　　　　 D．

解：在中，由正弦定理得：化简得：AC=

，化简得：AB=，

所以三角形△ABC的周长为：3+AC+AB=3++

=3+

故选D

变式3：在，求(1)(2)若点

解：(1)由得：

，

由正弦定理知:　 ，

(2)，

由余弦定理知：

1．(北师大版第59页A组第2题)正弦定理与余弦定理

在中，若 ，则．

A．　 　　　B．　　　 C．　 　　　D．　

变式1：在中，若 ，，，则__________．

答案：1或3

变式2：在中，若 ，，，则此三角形的周长为__________．

答案：

变式3：已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a=4，b=5，S=5，求c的长度．

　解：∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°

又∵c²＝a²+b²－2abcosC，

当∠C＝60°时，c²＝a²+b²－ab，c＝

当∠C＝120°时，c²＝a²+b²+ab，c＝

∴c的长度为或

8.(★★★★★)已知cosα+sinβ=，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=的最小值，并求取得最小值时x

7.(★★★★★)如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.