(一)选择题

1.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中成立的是(　　 )

A.　　　　　　　　　　　　　　　　 B.＝0

C.　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：A

2.若三个点P(1，1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x＝(　　 )

A.－1　　　　　　　　　　　　　 B.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.51

答案：B

3.若向量＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ)，则与一定满足(　　 )

A.夹角为α－β　　　　　　　 B.(+)⊥(－)　　　　　　　　　　　 C.∥　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.⊥

解：+＝(cosα+cosβ，sinα+sinβ)

－＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)

∴(+)·(－)＝cos²α－cos²β+sin²α－sin²β＝0

选B

4.设点P分有向线段的比为λ，且||＝3||，则λ＝(　　 )

A.4或－2　　　　　　　　　　 B.－3或1　　　　　　　　　　　　　　 C.－4或2　　　　　　　　　　　　　　 D.－3或－1

答案：C

5.若＝b，则∠AOB平分线上的向量为(　　 )

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.λ(λ由确定)

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：B

6.将函数y＝x²+4x+5的图像按向量a经过一次平移后得到y＝x²的图像，则a＝(　　 )

A.(2，－1)　　　　　　　　　 B.(－2，1)　　　　　　　　　　　　 C.(－2，－1)　　　　　　　　　　　 D.(2，1)

答案：A

7.设a、b是平面内两个不共线的向量，且＝2a+pb，＝a+b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为(　　 )

A、1　　　　　　　　　　　　　 B、2　　　　　　　　　　　　　　　　 C、－2　　　　　　　　　　　　　　　　 D、－1

答案：D

8.如果e₁、e₂是平面α内的一组基底向量，那么下列说法正确的是(　　 )

A、若实数λ₁、λ₂使得λ₁e₁+λ₂e₂＝0，则λ₁＝λ₂＝0

B、空间中任意向量a都可以表示为a＝λ₁e₁+λ₂e₂，其中λ₁、λ₂∈R

C、λ₁e₁+λ₂e₂不一定在平面α内，其中λ₁、λ₂∈R

D、对于平面α内的任意一个确定向量a，使得a＝λ₁e₁+λ₂e₂的实数λ₁、λ₂不止一对.

答案：A

9.已知|a|＝2sin15€，|b|＝4cos15，如果a与b的夹角为30，则a·b＝(　　 )

A、6　　　　　　　　　　　　　 B、4　　　　　　　　　　　　　　　　　 C、　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D、1

答案：C

10.已知点A(2，0)，B(2,2),点C满足＝(cosθ,sinθ)(θ∈R)，则向量与向量夹角的取值范围是(　　 )

A、[0,]　　　　　　　　　　　　 B、[,]　　　　　　　　　　　　　　　　 C、[,]　　　　　　　　　　　　　　　　　 D、[,]

答案：D

11.已知抛物线方程为y²＝2x，一直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则＝(　　 )

A、　　　　　　　　　　　　　　 B、－　　　　　　　　　　　　　　　 C、3　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D、－3

解：设A(y₁²,y₁),B(y₂²,y₂)，即＝(y₁²,y₁),＝(y₂²,y₂)

对于过焦点的直线，所得两点满足y₁y₂＝－p²＝－1

∴＝(y₁²,y₁)·(y₂²,y₂)＝y₁²y₂²+y₁y₂＝－

答案：B

12.如图，一条船从岸边A点出发，沿垂直于河岸的方向航行，船相对于水流的速度为V₁,水流速度为V₂(V₁＞V₂)，则船的实际行驶速度为(　　 )

A、　　　　　　　　　　　　　　 B、 C、　　　　　　　　　　　　　　 D、 解：根据题意及向量加法的几何意义，△ABC为直角三角形

故|V|＝

答案：B

(二)08高考预测

预计向量基本概念等基础问题和三角函数问题、解三角形问题与平面向量结合，通常为选择题或填空题；而用向量“包装”的综合问题，如立体几何、解析几何等，通常为解答题.难度以中档题为主.

(一)方法总结

1.以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便；

2.以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解；

考点一：向量的概念与运算

例题1：下面有四个关于向量数量积的关系式：

①0·0＝0；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·b＝b·a；④|a·b|≤a·b

其中正确的是(　　 )

A.①②　　　　　　　　　　　　　 B.②③　　　　　　　　　　　　　　　 C.③④　　　　　　　　　　　　　　　　 D.①③

解析：根据向量运算法则，①和③是正确的.

对于②，(a·b)·c是一个与向量c平行的向量，而a·(b·c)是一个与向量a平行的向量，通常情况下不正确；对于④，|a·b|是一个正实数，而a·b可能是一个负实数.

答案：D

点评：从向量的基本运算法则出发，细心判断.这里要特别注意向量0与实数0的区别.

例题2：平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA交于E，求证：BE＝BA 证明：设E’是AB上一点，且BE’＝BA 只需证E、E’重合即可， 设，则 ∵ ∴3( ∴ ∴，∴O、E’、D三点共线，即E、E’重合 ∴BE＝BA

点评：用向量方法证明平面几何问题，首先是选择一组适当的基底向量，然后再设法将其余相关向量都用基底向量表示出来，这样，相关点、线关系就能很容易第凸现出来.

考点二：定比分点与解三角形

例题3：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(－2，1)，B(3，4)，C(－1，3)，则第四个顶点D的坐标为(　　 ) A.(2，2)　　　　　　　　　　　　 B.(－6，0)　　　　　　　　　　　　 C.(4，6)　　　　　　　　　　　　　　 D.以上都不对 解析：本题只需要抓住平行四边形的两条对角线互相平分，

于是设D(x,y)，有－2+(－1)＝3+x且1+3＝4+y

从而x＝－6,y＝0

答案：B

点评：利用平面几何性质及中点坐标公式，是解决本题的要点.

例题4：已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足||＝2，|－|＝2，，I为PC上一点，且＝+λ()(λ＞0)，则的值为_______.

[点拨]确定PC、AI分别为∠APB、∠BAP的平分线，进而确定I在三角形中的位置.

解：cos∠APC

cos∠BPC

所以∠APC＝∠BPC，即PC平分∠APB

∵(λ＞0)

∴(λ＞0)

又均为单位向量，由向量的平行四边形法则，知AI平分∠PAB

又I在PC上，故I是△ABP的内心

又cos∠IBD＝(D为⊙I与AB的切点)

由＝2

又

解得：cos∠IBD＝＝－1

[点评]1、三角形中四心的向量表示：

2、本题通过内切圆的切点D找出相关的数量关系，技巧性较强，考查圆的切线性质.

考点三：向量与立体几何

例题5：如图，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝2，E为BD₁的中点，F为AB的中点. (1)求证：EF∥平面ADD₁A₁；

　 (2)若BB₁＝，求A₁F与平面DEF所成角的大小.

解析：(1)连结AD₁，在△ABD₁中，

∵E、F分别是BD₁、AB的中点，∴EF∥AD₁.

又EFË平面ADD₁A₁

∴EF∥平面ADD₁A₁

(2)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz

　(DG是AB边上的高)

则有A₁()，F(，0)

　D₁(0，0，)，B(，0)

∴E()

设平面DEF的法向量为＝(x，y，z)

则Þ

解得y＝－x，z＝x

取非零法向量＝(1，－，)

∴A₁F与平面DEF所成的角即是所成锐角的余角

由cos<>＝＝＝－

∴A₁F与平面DEF所成教的大小为－arccos，即arcsin.

点评：立体几何中，二面角问题几乎每年必考，几何法也有很多解决方法，如直接法、垂面法、三垂线法、面积射影法等等，这些方法都离不开严密的逻辑证明.而向量法则以算代证，从一定程度上减轻了对逻辑思维的要求，但也应该注意到，向量法计算较为烦琐，运算量较大，必须小心谨慎，否则也极易出现差错.

例题6：如图，已知平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠

BCD＝60°

⑴证明：C₁C⊥BD；

⑵假定CD＝2，CC₁＝，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α－BD－β的平面角的余弦值；⑶当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明.

⑴证明：连结A₁C₁、AC，AC和BD交于O，连结C₁O

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，BC＝CD

又∵ ∠BCC₁＝∠DCC₁，C₁C＝C₁C，

∴ △C₁BC≌△C₁DC

∴ C₁B＝C₁D

∵DO＝OB∴ C₁O⊥BD

但AC⊥BD，AC∩C₁O＝O

∴ BD⊥平面AC₁，

又CC₁∩平面AC₁∴ CC₁⊥BD 证法二：设CD、CB、CC₁三个方向上的单位向量分别为、、

则、、两两成60°角

且，,

则

于是＝mn(＝0

故 CC₁⊥BD

⑵解：由⑴知AC⊥BD，C₁O⊥BD

∴ ∠C₁OC是二面角α－BD－β的平面角

在△C₁BC中，BC＝2，C₁C＝，∠BCC₁＝60°

∴ C₁B²＝2²+()²－2×2××cos60°＝

∵∠OCB＝60°，∴ OB＝BC＝1

∴ C₁O²＝C₁B²＝OB²＝

∴ C₁O＝，即C₁O＝C₁C

作C₁H⊥OC，垂足为H.

∴点H是OC的中点，且OH＝，

∴ cos∠C₁OC＝.

⑶当＝1时，能使A₁C⊥平面C₁BD

证明一：∵＝1

∴ BC＝CD＝C₁C

又∠BCD＝∠C₁CB＝∠C₁CD

由此可推得BD＝C₁B＝C₁D

∴三棱锥C－C₁BD是正三棱锥.

设A₁C与C₁O相交于G.

∵ A₁C₁∥AC，且A₁C₁：OC＝2：1

∴ C₁O：GO＝2：1

又C₁O是正三角形C₁BD的BD边上的高和中线，

∴点G是正三角形C₁BD的中心.

∴ CG⊥平面C₁BD

即 A₁C⊥平面C₁BD.

证明二：由⑴知，BD⊥平面AC₁

∵ A₁C∩平面AC₁，∴ BD⊥A₁C.

当＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形.

同 BD⊥AC₁的证法可得BC₁⊥A₁C

又BD⊥BC₁于B

∴ A₁C⊥平面C₁BD

证法三：设＝x，即

由(2)可知：BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁C

由线面垂直得判定定理，知：如果A₁C⊥DC₁，则A₁C⊥平面C₁BD成立.

∵＝m+m+

　 ＝－m+

又∵＝0

∴(m+m+)(－m+e₃)＝0

展开整理得：－＝0

∴x＝1

以上各步可逆，所以x＝1时，即＝1时，A₁C⊥平面C₁BD

点评：空间向量中，基底向量的使用是学生的一个弱项，许多学生动辄建立坐标系，对于垂直条件“不足”的问题往往感到手足无措，本题就是一例.从本题的向量证明方法中，还可以明确看到不仅解决了几何证法中“有一解”的问题，而且明确了“只有一解”的充要关系.

考点四：向量与其他知识点综合问题

例题7：已知A、B、C是△ABC三内角，向量且m·n＝1

(1)求角A

(2)若

解析：(1)∵ ∴　 即

，

sin(A－)＝

∵　 ∴

∴A＝

(2)由题知，整理得sin²B－sinBcosB－2cos²B＝0

∴cosB≠0 ∴tan²B－tanB－2＝0

∴tanB＝2或tanB＝－1

而tanB＝－1使cos²B－sin²B＝0，舍去

∴tanB＝2

∴tanC＝tan[π－(A+B)]＝－tan(A+B)

点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.

例题8：设向量＝(1，0)，＝(0，1)，＝(x+m)+y，＝(x－m)+y，且||+||＝6，0＜m＜3，x＞0，y∈R.

　(1)求动点P(x，y)的轨迹方程；

(2)已知点A(－1，0)，设直线y＝(x－2)与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

解析：(1)∵＝(1，0)，＝(0，1)，||+||＝6

∴＝6

上式表示动点P(x，y)到两定点F₁(－m，0)和F₂(m，0)的距离之和为6

而0＜m＜3，故|F₁F₂|＜6

故P点轨迹为以F₁、F₂为焦点，长轴长2a＝6的椭圆，

于是a＝3，c＝m，b²＝9－m²

故P点轨迹方程为＝1(x＞0，0＜m＜3)

(2)设B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)

∵＝(x₁+1，y₁)，＝(x₂+1，y₂)，

∴＝x₁x₂+(x₁+x₂)+1+y₁y₂

而y₁y₂＝(x₁－2)·(x₂－2)＝[x₁x₂－2(x₁+x₂)+4]

∴＝x₁x₂+(x₁+x₂)+1+[x₁x₂－2(x₁+x₂)+4]

　　　　 ＝[10x₁x₂+7(x₁+x₂)+13]

若存在实数m，使得成立

则由[10x₁x₂+7(x₁+x₂)+13]＝

Þ　 10x₁x₂+7(x₁+x₂)+10＝0　　　　　　 ……①

由

消去y得：(10－m²)x²－4x+9m²－77＝0　　 ……②

由②有

由①④⑤解得m²＝＜9，且此时△＞0

但由⑤，有9m²－77＝＜0与题设矛盾

∴不存在符合题意的实数m，使得.

点评：向量与解析几何的综合问题，通常是利用向量的几何特性来描述解析几何中的图象性质，一般解决办法是利用向量的坐标表示，“尽快”转化为纯解析几何问题求解.当然也不排除利用平面几何性质，直接将向量特征转化为几何特征，更快地得到问题的解.

7．知识网络

6．对于学有余力的学生，可以适当补充简单的空间解析几何知识，如空间直角坐标系中平面的方程(特别是平面的截距式方程)，点到平面的距离公式等.

5．按教材编排体系，解三角形在本专题中复习，即正、余弦定理(及其各种变形)运用于三角形形状的判断、证明三角形中的边角恒等式、定比分点及求解有关实际应用问题这也是高考热点之一．

4．在2007年全国各省市的高考试卷中，向量在各种题型中都有出现.选择题、填空题的形式主要考查向量的模、夹角、数量积以及向量间的关系等基础知识与基本技能．而在解答题中则主要与三角形、函数、空间几何体、圆锥曲线等结合、交汇.

3.随着新教材的普遍使用，“向量”将会成为命题热点，一般选择、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律，解答题重在考查平面向量的综合应用，常与函数、三角函数、平面解析几何、立体几何、数列等知识结合起来考查．对本专题的复习应立足基础，强化运算，重视应用．数形结合思想在本专题中将得到淋漓尽致的体现．

2.有关平面向量的考查热点在两个方面：一是对向量基本概念、基本运算的考查；二是对向量的工具作用的考查，即运用向量知识解决平面几何、解析几何、三角函数等中的简单问题．