5、若· + = 0,则ΔABC为(　 A　 )

　　　 A．直角三角形　 　　　 B．钝角三角形　　　　 C．锐角三角形　　 D．等腰直角三角形

4、已知|a|=1,|b|=　 ,且(a－b)和a垂直,则a与b的夹角为(　 D　 )

　　 A．60°　　　　　 　　　　　　 B．30°　　　　　 　　　　 C．135°　　　　 　　　　 D．45°

3、若|a|=|b|=|a－b|,则b与a+b的夹角为(　 A　 )

　　 A．30°　　　　 　　　　　　 B．60°　　　　　 　　　　 C．150°　　　　 　　　　 D．120°

2、在ΔABC中,若(+)·(－)=0,则ΔABC为(　 C　 )

　 　　 A．正三角形　　 　　　　 B．直角三角形　　 　　 C．等腰三角形　 　　 D．无法确定

1、下列各式中正确的是( C　 )

　 (1)(λ·a) ·b=λ·(a b)=a· (λb),　 (2)|a·b|=|a|·|b|,

　 (3)(a ·b)· c=a · (b ·c),　　　　 (4)(a+b) · c= a·c+b·c

　 　　 A．(1)(3)　　 　　 B．(2)(4)　　 　 C．(1)(4)　　 　 D．以上都不对.

[平面向量练习]

7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.

[例10]　　　　　　　 证明柯西不等式

证明：令

(1)　　　 当或时，，结论显然成立；

(2)　　　 当且时，令为的夹角，则

　　　　 . 又

　(当且仅当时等号成立)

　.(当且仅当时等号成立)

[例11]　　　　　　　 求的最值

解：原函数可变为，

所以只须求的最值即可，

构造，

那么.

故.

[例12]　　　　　　　 三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线

AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值.

解：(1)点M的坐标为x_M=

D点分的比为2.

∴x_D=

(3)∠ABC是与的夹角，而=(6，8)，=(2，－5).

解斜三角形

[例1]　　　　　　　　　 已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.，求cos的值.

解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°.

设α=，则A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，

依题设条件有

整理得4cos²α+2cosα－3=0(M)

(2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0，

∴2cosα－=0.从而得cos.

解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①，把①式化为cosA+cosC=－2cosAcosC　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　②，

利用和差化积及积化和差公式，②式可化为

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　③，　

将cos=cos60°=，cos(A+C)=－代入③式得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

将cos(A－C)=2cos²()－1代入 ④：4cos²()+2cos－3=0，(*)，

[例2]　　　　　　　　　 在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？

解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)

在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

(2)∠DAC=90°－60°=30°

sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=

sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°.

在△ACD中，据正弦定理得，

∴

答：此时船距岛A为千米.

[例3]　　　　　　　　　 已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB().

(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；

(2)判断其单调性，并加以证明；

(3)求这个函数的值域.

解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°

∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1

又4x²－3≠0，∴x≠，∴定义域为(，)∪(，1］.

(2)设x₁＜x₂，∴f(x₂)－f(x₁)=

=，若x₁，x₂∈()，则4x₁²－3＜0，4x₂²－3＜0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0

即f(x₂)＜f(x₁)，若x₁，x₂∈(，1］，则4x₁²－3＞0.

4x₂²－3＞0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0.

即f(x₂)＜f(x₁)，∴f(x)在(,)和(，1上都是减函数.

(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.

故f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞.

[例4]　　　　　　　　　 在中，角所对的边分别为．若，求角．

解：由正弦定理，将已知等式中的边转化为角．可得

.

因为，故有，

∴　 .

又∵　 ,

∴　 ,

即，

由，可解得．

[例5]　　　　　　　　 在△ABC中，已知.

(1)若任意交换的位置，的值是否会发生变化?试证明你的结论；

(2)求的最大值.

解：(1)∵

，

　　　　　　 ∴ 任意交换的位置，的值不会发生变化．

　　　　　　 (2)

解法1：将看作是关于的二次函数.

.

所以，当，且取到最大值1时，也即时，取得最大值．

解法2：用调整的方法, 也即对于每个固定的的值，去调整，求出取得最大值时所满足的条件．

对于，如果固定，则可将看作是关于的一次或常数函数．为了讨论其最大值，显然应该考虑的符号，并由此展开讨论．

若，则，所以，，所以，

所以，只需考虑的情形．此时是关于的常数函数或单调递增的一次函数，因此，最大值必可在(即)时取得．所以，

，

等号当且仅当时取得．

6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.

[例9]　　　　　　　　　 证明:

证明：在单位圆上任取两点，以为始边，以为终边的角分别为，则点坐标为点坐标为；

则向量，它们的夹角为，

,由向量夹角公式得：

,从而得证.

注：用同样的方法可证明

5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.

[例8]　　　　　　　　　 求平面内两点间的距离公式

解：设点 ，

　,而

点与点之间的距离为：

4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题

[例6]　　　　　　　　　 如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面?ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD.

(1)求证：C₁C⊥BD.

(2)当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明.

　(1)证明：设=a, =b,=c,依题意，|a|=|b|，、、?中两两所成夹角为θ，于是=a－b，=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C₁C⊥BD.

(2)解：若使A₁C⊥平面C₁BD，只须证A₁C⊥BD，A₁C⊥DC₁，

由

=(a+b+c)·(a－c)=|a|²+a·b－b·c－|c|²=|a|²－|c|²+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得

当|a|=|c|时，A₁C⊥DC₁，同理可证当|a|=|c|时，A₁C⊥BD，

∴=1时，A₁C⊥平面C₁BD.

[例7]　　　　　　　　　 如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点.

(1)求的长；

(2)求cos<>的值；

(3)求证：A₁B⊥C₁M.

解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系O－xyz.

依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)

∴||=.

(2)解：依题意得：A₁(1，0，2)，C(0，0，0)，B₁(0，1，2).

∴==(0，1，2)

=1×0+(－1)×1+2×2=3

||=

(3)证明：依题意得：C₁(0，0，2)，M()

∴

∴A₁B⊥C₁M.