3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量

[例4]　　　　　　　　　 已知点是

且试用

解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.

由OA=2，，所以，

易求，设

.

[例5]　　　　　　　　　 如图，

用表示

解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，

.

2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题

[例3]　　　　　　　　　 已知，AD为中线，求证

证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，

设，，

则，

.

=，

从而，

.

平面向量

[例1]　　　　　　　　 在下列各命题中为真命题的是(　　 )

①若=(x₁,y₁)、=(x₂,y₂)，则·=x₁y₁+x₂y₂

②若A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，则｜｜=

③若=(x₁,y₁)、=(x₂,y₂),则·=0x₁x₂+y₁y₂=0

④若=(x₁,y₁)、=(x₂,y₂)，则⊥x₁x₂+y₁y₂=0

A、①②　　　 B、②③　　　 C、③④　　　 D、①④

解：根据向量数量积的坐标表示；若=(x₁,y₁), =(x₂,y₂)，则·=x₁x₂+y₁y₂，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、

于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、

说明：对于命题(3)而言，由于·=0=或=或⊥x₁x₂+y₁y₂=0，故它是一个真命题、

而对于命题(4)来讲，⊥x₁x₂+y₁y₂=0、但反过来，当x₁x₂+y₁y₂=0时，可以是x₁=y₁=0，即=，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x₁x₂+y₁y₂=0⊥)，所以命题(4)是个假命题、

[例2]　　　　　　　　 已知=(－,－1), =(1, )，那么，的夹角θ=(　　 )

A、30°　　　 B、60°　　　 C、120°　　　 D、150°

解：·=(－,－1)·(1，)=－2

｜｜==2

｜｜==2

∴cosθ===

[例3]　　　　　　　　 已知=(2,1), =(－1,3),若存在向量使得：·=4, ·=－9，试求向量的坐标、

解：设=(x,y),则由·=4可得：

2x+y=4；又由·=－9可得：－x+3y=－9

于是有：　

由(1)+2(2)得7y=－14,∴y=－2,将它代入(1)可得：x=3

∴=(3,－2)、

说明：已知两向量，可以求出它们的数量积·，但是反过来，若已知向量及数量积·，却不能确定、

[例4]　　　　　　　　 求向量=(1,2)在向量=(2，－2)方向上的投影、

解：设向量与的夹角θ、

有cosθ= ==－

∴在方向上的投影=｜｜cosθ=×(－)=－

[例5]　　　　　　　　 已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高AD，求及点D的坐标、

解：设点D的坐标为(x,y)

∵AD是边BC上的高，

∴AD⊥BC，∴⊥

又∵C、B、D三点共线，

∴∥

又=(x－2,y－1), =(－6,－3)

=(x－3,y－2)

∴

解方程组，得x=,y=

∴点D的坐标为(，)，的坐标为(－，)

[例6]　　　　　　　　 设向量、满足：｜｜＝｜｜=1，且+=(1，0)，求，、

解：∵｜｜＝｜｜=1，

∴可设=(cosα,sinα), 　=(cosβ,sinβ)、

∵+=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，

由(1)得：cosα=1－cosβ……(3)

由(2)得：sinα=－sinβ……(4)

∴cosα=1－cosβ=

∴sinα=±,sinβ=

或

[例7]　　　　　　　　 对于向量的集合A={=(x,y)｜x²+y²≤1}中的任意两个向量、与两个非负实数α、β；求证：向量α+β的大小不超过α+β、

证明：设=(x₁,y₁)， =(x₂,y₂)

根据已知条件有：x²₁+y²₁≤1,x²₂+y²₂≤1

又因为｜α+β｜=

=

其中x₁x₂+y₁y₂≤ ≤1

所以｜α+β｜≤=｜α+β｜=α+β

[例8]　　　　　　　　 已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB、

求证：AC⊥BC

证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1

则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)

∴=(－1,1), =(1,1)

·=－1×1+1×1=0

∴BC⊥AC、

[例9]　　　　　　　　 已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出最大值、

解，设C(x,0)(x＞0)

则=(－x,a), =(－x,b)

则·=x²+ab、

cos∠ACB==

令t=x²+ab

故cos∠ACB=

当=即t=2ab时，cos∠ACB最大值为、

当C的坐标为(,0)时，∠ACB最大值为arccos、

[例10]　　　　　　　 如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明

(1)PA=EF　　 (2)PA⊥EF

证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，

｜｜=λ,则A(0，1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)

∴=(－λ,1－λ), =(λ－1,－ λ)

(1)｜｜²=(－λ)²+(1－λ)²=λ²－λ+1

｜｜²=(λ－1)²+(－λ)²=λ²－λ+1

∴｜｜²=｜｜²,故PA=EF

(2) ·=(－λ)(λ－1)+(1－λ)(－λ)=0

∴⊥　　 ∴PA⊥EF、

[例11]　　　　　　　 已知

①　　 求；　

②当k为何实数时,k与平行, 平行时它们是同向还是反向？

解：①= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴= =.

②k= k(1,0)－(2,1)=(k－2,－1).

设k=λ(),即(k－2,－1)= λ(7,3),

∴ 　.

故k= 时, 它们反向平行.

[例12]　　　　　　　 已知与的夹角为,若向量与垂直, 求k.

解：=2×1×=1.　　

∵与垂直,

∴()= ,

∴2 　k = － 5.

[例13]　　　　　　　 如果△ABC的三边a、b、c满足b² + c ² = 5a²,BE、CF分别为AC边与AB上的中线, 求证：BE⊥CF.

解：

∴⊥, 即 BE⊥CF .

[例14]　　　　　　　 是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?

解：如图所示，在正△ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，

满足，，，两两不共线，有

(+)·(+)

=(+++)·(++)

=(2++)·(2+)

=(2－)·(2+)

=4²－²

=4²－²=0

有(+)与(+)垂直、

同理证其他情况、从而，，，满足题意、故存在这样4个平面向量、

平面向量的综合应用

1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题

[例1]　　　　　　　　　 已知向量满足条件，，求证：是正三角形

解：令O为坐标原点，可设

由，即

两式平方和为，，

由此可知的最小正角为，即与的夹角为，

同理可得与的夹角为，与的夹角为，

这说明三点均匀分部在一个单位圆上，

所以为等腰三角形.

[例2]　　　　　　　　　 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数

解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、

轴建立直角坐标系，设，则，

从而可求：,

=.　

.

由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。

3.向量在空间中的应用(在B类教材中).在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.

　在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。

2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.

对本章内容的考查主要分以下三类：

1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

8.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{a_n}满足：a₁=2,a₂≠0,a_n·a_n+1=－qⁿ,求a_n表达式，又如果S_2n＜3,求q的取值范围.

7.(★★★★★)已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.

(1)求数列{b_n}的通项公式b_n;

(2)设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1)记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论.