2.(★★★★)已知△ABC中，?=a，=b，a·b<0，S_△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是(　　 )

A.30°　　　　　　　　　　　　 B.－150°　　　　　　　　　　 C.150°　　　　　　　　　　　 D.30°或150°

1.(★★★★)设A、B、C、D四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为(　　 )

A.正方形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.矩形

C.菱形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.平行四边形

16．(人教版84页B组第5题)

试着举几个满足“对定义域内任意实数，，都有”的函数例子.

变式1：设函数f(x)的定义域是N^*，且，，则f(25)= ___________________.

解析：由

∴

同理，f(3)－f(2)=3.

……

f(25)－f(24)=25.

∴f(25)=1+2+3+…+25=325.

答案：325

变式2：设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有

(1)设，求

(2)证明是周期函数.

(1)解：由知， x∈［0，1］.

因为f(1)=f()·f()=［f()］²，及f(1)=2，所以f()=2.

因为f()=f()·f()=［f()］²，及f()=2，所以f()=2.

(2)证明：依题设关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x)f(x)=f(2－x)，x∈R.

又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x)，x∈R，所以f(－x)=f(2－x)，x∈R.将上式中－x以x代换，得f(x)=f(x+2)，x∈R.

这表明是R上的周期函数，且2是它的一个周期.

变式3：设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有且当

(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；

(2)求证：f(x)在R上递减；

(3)设集合A={(x，y)|f(x²)·f(y²)＞f(1)}，B={(x，y)|f(ax－y+2)=1，

a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围.

(1)证明：在f(m+n)=f(m)f(n)中，

令m=1，n=0，得f(1)=f(1)f(0).

∵0＜f(1)＜1，∴f(0)=1.

设x＜0，则－x＞0.令m=x，n=－x，代入条件式有f(0)=f(x)·f(－x)，而f(0)=1，

∴f(x)=＞1.

(2)证明：设x₁＜x₂，则x₂－x₁＞0，∴0＜f(x₂－x₁)＜1.

令m=x₁，m+n=x₂，则n=x₂－x₁，代入条件式，得f(x₂)=f(x₁)·f(x₂－x₁)，

即0＜＜1.∴f(x₂)＜f(x₁).

∴f(x)在R上单调递减.

(3)　　　 解：由

又由(2)知f(x)为R上的减函数，∴点集A表示圆的内部.由f(ax－y+2)=1得ax－y+2=0点集B表示直线ax－y+2=0.

∵A∩B=，∴直线ax－y+2=0与圆相离或相切。

于是

设计意图：考察抽象函数的性质及抽象运算的能力和数形结合的思想。

15．(北师大版第66页B组第3题)

求二次函数在区间[0，1]上的最小值的表达式.

变式1：设a为实数，记函数的最大值为g(a).

　(Ⅰ)设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

(Ⅱ)求g(a)

(Ⅲ)试求满足的所有实数a

解：(I)∵，

∴要使有意义，必须且，即

∵，且……①　　 ∴的取值范围是。

由①得：，∴，。

(II)由题意知即为函数，的最大值，

∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

(1)当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

(2)当时，，，有=2；

(3)当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，。

综上所述，有=。

(III)当时，；

　　　 当时，，，∴，

，故当时，；

当时，，由知：，故；

当时，，故或，从而有或，

要使，必须有，，即，

此时，。

综上所述，满足的所有实数a为：或。

设计意图：考察二次函数的最值与分类讨论的思想

13．(人教版第49页B组第5题)

证明：

(1)若，则

(2)若，则

变式1：如图所示，是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的和，任意恒成立”的只有　　　　　　　　　　 (　　 )

A．和　 　 B．　　　　　　 C．和　　 D．

解：当时，符合条件的函数是凹函数，从图像可看出有和，选择A.

变式2：.设函数=的图象如下图所示，则a、b、c的大小关系是

A.a＞b＞c　　　　　　　　　　 B.a＞c＞b　　　　　　　　　　 C.b＞a＞c　　　　　　　　　　 D.c＞a＞b

解析：f(0)==0，∴b=0.f(1)=1，∴=1.

∴a=c+1.由图象看出x＞0时，f(x)＞0，即x＞0时，有＞0，

∴a＞0.又f(x)= ，

当x＞0时，要使f(x)在x=1时取最大值1，需x+≥2，

当且仅当x==1时.∴c=1，此时应有f(x)==1.∴a=2.

答案：B

变式3：如图所示，单位圆中弧AB的长为表示弧AB与弦AB

所围成的弓形面积的2倍，则函数的图象是　　　　　 　　

答案：( D )

设计意图：考察图象与式子运算的能力

14：(北师大版136页B组第1题)

判断下列方程在(0，10)内是否存在实数解，并说明理由.

(1)　 (2)

变式1：设二次函数，方程的两个根满足.　 当时，证明.

分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.

证明：由题意可知.

,

∴ ,

∴　 当时，.

又,

∴　 ,

综上可知，所给问题获证.

变式2：已知二次函数．

　 (1)若a>b>c，　且f(1)=0，证明f(x)的图象与x轴有2个交点；

　 (2)在(1)的条件下，是否存在m∈R，使得f(m)=－ a成立时，f(m+3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；

　 (3)若对，方程有2个不等实根，

解:　(1)

的图象与x轴有两个交点.

　 (2)，∴1是的一个根，由韦达定理知另一根为，

∴

　在(1，+∞)单调递增，，即存在这样的m使

　(3)令，则是二次函数.

　有两个不等实根，且方程的根必有一个属于.

设计意图：考察函数的零点

12．(人教版48页A组第8题)

设，求证：(1)　 (2)

变式1：函数对于任意实数满足条件，若则__________.

解：，，又

，∴，

∴

变式2：若奇函数满足，则　　

解：由已知，令，则，又∵是奇函数，所以，

∴，∴

变式3：函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于

A.　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：由题知　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

以代，①式得，即　 ②

①+②得

答案：A

设计意图：考察函数的抽象运算与综合性质

11.(人教版65页第8题)

已知下列等式，比较，的大小

(1)　　 (2)

变式1：设，那么　 (　　 )

A.a＜a＜b　　　　　　　　　　　　　 B.a＜ b＜a

C.a＜a＜b　　　　　　　　　　　　　 D.a＜b＜a

解：由，在A和B中，在定义域内是单调递减的，∴，所以结论不成立.在C中，在内是单调递增的，又，所以答案为C.

变式2：已知，则　 (　 )

A．　　　　 B.

B.　　　　　 D.

解：由已知，因为在定义域内是单调递增的，所以

答案为A.

变式3：已知函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是(　)

　　 A．　　 　 B． 　 　C．　　　　 D．

分析：本题根据反函数的定义求出的解析式，再用换元法判断的单调性，结合条件在区间上是增函数，求出实数的取值范围是，答案为D　

设计意图：考察指、对数函数的单调性

10．(北师大版54页A组第5题)

对于下列函数，试求它们在指定区间上的最大值或最小值，并指出这时的值

(2)，

变式1：函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则的值为( )

A．　　　 B.2　 　　C.4　　　　 D.

解：当或时，函数都是定义域上的单调函数，

∴，故选C.

变式2：若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为( )

A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　 D．

解：∵，∴是定义域上的减函数，所以，，∴，故选A

设计意图：考察函数的最值

9．(人教版第49页B组第4题)

已知函数，求，，的值

变式1：设则__________

解：.

变式2：已知是上的减函数，那么的取值范围是

A.　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　　　　　　　 D.

解：分段函数的单调性需分段处理.答案选C

变式3：设函数f(x)=　 　则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为

A.(－∞，－2］∪［0，10］　　　　　　　　　　　　　 B.(－∞，－2］∪［0，1］

C.(－∞，－2］∪［1，10］　　　　　　　　　　　　　 D.［－2，0］∪［1，10］

解：当x＜1时，f(x)≥1(x+1)²≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.

当x≥1时，f(x)≥14－≥1≤31≤x≤10.

综上，知x≤－2或0≤x≤10.

答案：A

设计意图：考察分段函数的概念和性质

8．(人教版43页B组第3题)

已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A. 　　　　　B. 　　

　C. 　　　　　　D.

解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.

变式2：函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 (　 )

A.　 B.　　 C.　　 D.或

解：当时，∵函数是R上的偶函数，且在上是增函数，∴在上是减函数，所以若，则，当时，函数是R上的偶函数，且在上是增函数，且，∴，故选D

设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系