5．(人教A版，必修2，P87，第10题)

如图5，已知平面，且是垂足，试判断直线与的位置关系？并证明你的结论．

变式题5－1，如图5，已知平面，且是垂足．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．

变式题5－1，如图5，已知平面，

且是垂足．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．

解(Ⅰ)因为，所以．同理．

又，故平面．

(Ⅱ)设与平面的交点为，连结、．

因为平面，所以，

所以是二面角的平面角．

又，所以，即．

在平面四边形中，，

所以．

故平面平面．

变式题5－2．如图5－1，已知直二面角，与平面、所成的角都为，．

为垂足，为垂足．

(Ⅰ)求直线与所成角的大小；

(Ⅱ)求四面体的体积．

解：(Ⅰ)如图5－2，在平面内，作，连结、．则四边形为平行四边形，所以，即为直线与所成的角(或其补角)．

因为．

所以．同理．

又与平面、所成角为，所以，，所以，．

在中，，从而．

因为，且为平行四边形，

所以．

又，所以．

故平面，从而．

在中，．

所以，

即直线与所成角的大小为．

(Ⅱ)在中，，所以．

三角形的面积，

故四面体的体积

．

4．(人教A版，必修2，P74．例2)

如图4，在正方体中，求直线与平面所成的角．

变式题：如图4－1，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点，交于点．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求与平面所成的角的正弦值．

解：(Ⅰ)如图4－2，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．

∴．

设，则．

∵，∴．

∴，∴，．

又，

∴且．

∴且．

∴且．∴平面．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知是平面的一个法向量，又，

∴．

∴与平面所成角的正弦值为．

3．(北师大版．必修2．P31．第4题)

如图3，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形

变式题：如图3－1．已知、分别是正方体的棱和棱的中点．

(Ⅰ)试判断四边形的形状；

(Ⅱ)求证：平面平面．

解(Ⅰ)如图3－2，取的中点，连结、．

∵、分别是和的中点，

∴，

在正方体中，有

，　∴，

∴四边形是平行四边形，

∴．

又、分别是、的中点，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴．

故．

∴四边形是平行四边形．

又≌，

∴，

故四边形为菱形．

(Ⅱ)连结、、．　 ∵四边形为菱形，

∴．

在正方体中，有

，

∴平面．

又平面，

∴．

又，

∴平面．

又平面，

故平面平面

2．(人教A版，必修2，P20．例3)

如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图(单位：cm)．

(Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法)；

(Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积．

解(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2－2所示．

(Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1cm，高为2cm)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1cm，母线长为2cm，高为cm)．

所以所求表面积，

所求体积．

变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图(单位：cm)．

(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积；

(Ⅲ)设异面直线、所成角为，求．(理科考生)

解：(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2－4所示．　

(Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体．

由，，

可得．

故所求几何体的全面积

所求几何体的体积

(Ⅲ)由，且，可知，

故为异面直线、所成的角(或其补角)．

由题设知，，

取中点，则，且，

．

由余弦定理，得

　　　　　　　　．

1．(人教A版，必修2．P17．第4题)

图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图(单位：cm)

(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积；

(Ⅲ)设异面直线与所成的角为，求．

解：(Ⅰ)这个几何体的直观图如图1－2所示．

(Ⅱ)这个几何体是直三棱柱．

由于底面的高为1，所以．

故所求全面积

　　　．

这个几何体的体积

(Ⅲ)因为，所以与所成的角是．

　　在中，，

　　故．

7．(2007陕西•理•19题)如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，，,BC=6．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求二面角的大小．

6．(2007宁夏•理•19题)如图，在三棱锥中，侧面与

侧面均为等边三角形，，为中点．

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值．

5．(2007福建•理•18题)如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，

D为CC₁中点．

(Ⅰ)求证：AB₁⊥面A₁BD；

(Ⅱ)求二面角A－A₁D－B的大小；

(Ⅲ)求点C到平面A₁BD的距离．

3．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中

．

　 (Ⅰ)求的长；

　 (Ⅱ)求点到平面的距离．

　 4．如图，在长方体，中，，点在棱上移动. (Ⅰ)证明：；

　 　(Ⅱ)当为的中点时，求点到面的距离；

　　 (Ⅲ)等于何值时，二面角的大小为.

2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，

侧棱底面，，，，　

为的中点.

　 (Ⅰ)求直线与所成角的余弦值；

(Ⅱ)在侧面内找一点，使面，

并求出点到和的距离．