13.(人教A版必修2第135页B组第3题)

已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.

变式1：(2006年四川卷)已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于(　 )

A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　 D.

解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为，故选(B).

变式2：(2004年全国卷)由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=60⁰，则动点的轨迹方程是　　　　 　.

解：设.∵=60⁰，∴=30⁰.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.

变式3：(2003年北京春季卷)设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.

解：设动点的坐标为.由，得，

化简得.

当时，化简得，整理得；

当时，化简得.

所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；

当时，点的轨迹是轴.

12.(人教A版必修2 第145页B组第2题)

已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.

变式1：(2006年湖南卷)圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(　 )

A.36　　　　　　　　 B.18　　　　　　 　　C.　　　　　　 D.

解：∵圆的圆心为(2，2)，半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是，故选(C).

变式2：已知，，点在圆上运动，则的最小值是　　　　 .

解：设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.

变式3：已知点在圆上运动.

(1)求的最大值与最小值；(2)求的最大值与最小值.

解：(1)设，则表示点与点(2，1)连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.

(2)设，则表示直线在轴上的截距. 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.

11.(北师大版必修2第101页例8)

判断圆与圆的位置关系，并画出图形.

变式1：(1995年全国卷)圆和圆的位置关系是(　 )

A.相离　　　　 　　　B.外切　 　　　　　　C.相交　 　　　　　D.内切

解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴两圆相交，故选(C).

变式2：若圆与圆相切，则实数的取值集合是　　　　　 .

解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴实数的取值集合是.

变式3：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.

解：设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.∵两圆外切于点，∴，∴，∴，∴所求圆的方程为.

10.(北师大版必修2第117页A组 第14题)

已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.

变式1：(2006年安徽卷)直线与圆没有公共点，则的取值范围是(　 )

A.　　　 B.　 　　C.　 　　D.

解：依题意有，解得.∵，∴，故选(A).

变式2：(2006年湖北卷)若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是　　　　　 .

解：依题意有，解得，∴的取值范围是.

变式3：若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.

9.(人教A版必修2 第144页 A组 第5题)

求直线被圆截得的弦的长.

变式1：(1999年全国卷)直线截圆得的劣弧所对的圆心角为(　 )

A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为，故选(C).

变式2：(2006年天津卷)设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则　　　　 .

解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得，解得.

变式3：已知圆，直线.

(1)求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；

(2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程.

解：(1)∵直线恒过定点，且，∴点在圆内，∴直线与圆恒交于两点.

(2)由平面几何性质可知，当过圆内的定点的直线垂直于时，直线被圆截得的弦长最小，此时，∴所求直线的方程为即.

8.(人教A版必修2第144页A组 3)

求以为圆心，并且与直线相切的圆的方程.

变式1：(2006年重庆卷)过坐标原点且与圆相切的直线的方程为(　 )

A.或　　　　　　　　　　 B.或

C.或　　　　　　　　　 D.或

解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为(2，-1)，半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或，故选(A).

变式2：(2006年湖北卷)已知直线与圆相切，则的值为　　　　 .

解：∵圆的圆心为(1，0)，半径为1，∴，解得或.

变式3：求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.

解：设所求圆的方程为，则，

解得或，∴圆的方程为或.

7.(北师大版必修2 第118页B组第2题)

光线自点射到点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程.

变式1：一条光线从点射出，经轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的方程是　　　　 .

解：依题意得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为，即.由反射光线与圆相切得，解得或，∴反射光线所在直线的方程是或，即或.

变式2：(2003年全国卷)已知长方形的四个顶点、、和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和(入射角等于反射角).设的坐标为.若，则的取值范围是(　 )

A.　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　 D.

解：用特例法，取，则、、、分别为、、、的中点，此时.依题意，包含的选项(A)(B)(D)应排除，故选(C).

变式3：已知点，在直线上求一点P，使最小.

解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.

设，则，解得，∴，∴直线的方程为.由，解得，∴.

6.(人教A版必修2 第110页A组第3题)

已知，，求线段的垂直平分线的方程.

变式1：已知关于直线的对称点为，则直线的方程是(　 )

A.　 B.　　 C.　 D.

解：依题意得，直线是线段的垂直平分线.∵，∴，∵的中点为(1，1)，∴直线的方程是即，故选(B).

变式2：已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是　　　　　 .

解：依题意得，两圆的圆心与关于直线对称，故直线是线段的垂直平分线，由变式1可得直线的方程为.

变式3：求点关于直线的对称点的坐标.

解：设.由，且的中点在直线上，得，解得，∴.

5.(北师大版必修2 第117页A组第7题)

若直线和直线垂直，求的值.

变式1：(1987年上海卷)若直线与直线平行但不重合，则等于(　 )

A.-1或2　　　　　　 B.-1 　　　　　　　　C.2　　　　　　　　 D.

解：∵，∴且，∴且，解得，故选(B).

变式2：(2005年北京春季卷)“”是“直线与直线相互垂直”的(　 )

A.充分必要条件　　　　　　　　　　　　　 B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

解：由或，知由可推出，但由推不出，故是的充分不必要条件，故选(B).

变式3：设直线与圆相交于点、两点，为坐标原点，且，求的值.

解：∵圆经过原点，且，∴是圆的直径，∴圆心(1，-2)在直线上，∴.

4.(北师大版必修2 第117页A组第10题)

求过点，且与直线平行的直线的方程.

变式1：(2005年全国卷)已知过点和的直线与直线平行，则的值为(　 )

A.0　　　　　　　　 B.-8 　　　　　　　　C.2　　　　　　　　 D.10

解：依题意有，解得，故选(B).

变式2：与直线平行，且距离等于的直线方程是　　　 　.

解：设所求直线方程为，则，解得或，∴直线方程为或.

变式3：已知三条直线不能构成三角形，求实数的取值集合.

解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故或或，∴实数的取值集合是.