38．(命题人：南通一中黄健，审题人：南通一中吴勇贫)

已知数列的前n项的和S_n，满足 ．

(1)写出数列的前3项．

(2)写出数列的通项公式．

(3)设 ，是否存在正整数k，使得当n≥3时，，如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由．　

解析：(1)

(2)n≥3时，由，得．

相减，得，．

是等比数列．，．

(3)，

当k为偶数时，．

当n为奇数且n≥3时，

．

　　　 　　　 当n为偶数且n≥3时，，

所以存在k=6．

37．(命题人：南通中学赵栋，审题人：南通中学杨建楠，原创)

设定义在上的函数的图象为C，C的端点为点A、B，M是C上的任意一点，向量，，，若，记向量.现在定义“函数在上可在标准k下线性近似”是指恒成立，其中k是一个人为确定的正数．

(1)证明：；

(2)请你给出一个标准k的范围，使得[0，1]上的函数y=x²与y=x³中有且只有一个可在标准k下线性近似.

[解析](1)由题意，x₁≤x≤x₂，即x₁≤x₁+(1－)x₂≤x₂，∴ x₁－ x₂≤(x₁－x₂)≤0．

∵ x₁－ x₂<0，∴ 0≤≤1．

(2)由=+(1－)，得=．

所以B、N、A三点在一条直线上．

又由(1)的结论，N在线段AB上，且与点M的横坐标相同．

对于 [0，1]上的函数y=x²，A(0，0)，B(1，1)，

则有||= x －x² =，故．

对于[0，1]上的函数y=x³，则有= x－x³= g(x)．

在(0，1)上， g′(x)= 1－3 x²，

可知在(0，1)上y= g(x)只有一个极大值点x=，

所以函数y= g(x)在(0，)上是增函数;在(，1)上是减函数．

又g()=，故[0，]．

经过比较，<，所以取k[，)，则有函数y=x²在[0，1]上可在标准k下线性近似，函数y=x³在[0，1]上不可在标准k下线性近似．

36． (命题人：南通中学田宇龙，审题人：南通中学杨建楠，原创)

已知定义域为R的二次函数的最小值为0且有，直线被的图像截得的弦长为，数列满足，.

(1)函数；

(2)求数列的通项公式；

(3)设，求数列的最值及相应的n．

[解析](1)设，

则直线与图象的两个交点为(1，0)，．

，．

(2)．

，．

，．

数列是首项为1，公比为的等比数列，．

　　 　　(3)．

令，则．

，的值分别为，…，经比较距最近，

∴当时，有最小值是，当时，有最大值是0.

35．(命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章)

已知数列

(1)求；

(2)证明．

解：(1)

方法一 用数学归纳法证明：

1°　 当n＝0时， ∴，命题正确．

2°　 假设n＝k时，有

　 　则

而

又 ∴时命题正确．

由1°、2°知，对一切n∈N，有

方法二：用数学归纳法证明：

1° 当n＝0时，∴．

　　 2° 假设n＝k时，有成立，

　　　 令，在[0，2]上单调递增，由假设，

有即

也即当n＝k+1时，成立，所以对一切．

34．(命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章)

如图，过点A(6，4)作曲线的切线l．

(1)求切线l的方程；

　　　 (2)求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S．

解：(1)∵，∴，∴切线l的方程为，即．

　　　　　　 (2)令＝0，则x＝2．令＝0，则x＝ －2．

　　　 　　　　 ∴A＝＝＝．

33．(命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章)

在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足(如图所示)，求得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程．

解析 法一：∵直线AB的斜率显然存在，

∴设直线AB的方程为.

，依题意，得

　　　 ①

∴，　　 ②　 　　　．　 　③

　　　　 ∵，∴，即 ．　 ④

由③、④，得 ，∴．

∴设直线AB的方程为．

∴ ①可化为，∴．　　 ⑤

设的重心G为，则

　　 ⑥ 　　　　　⑦

由⑥，⑦，得　 ，即，这就是得重心的轨迹方程．

法二：∵ AO⊥BO，直线OA，OB的斜率显然存在，

　　　 ∴设AO、BO的直线方程分别为，．

设，，依题意，可得

　　　 由　 得 由 得．

设的重心G为，则

　　 　① 　　　②

由①②，可得，即为所求的轨迹方程．

法三：(I)设△AOB的重心为G(x，y)，A(x₁， y₁)，B(x₂，y₂ )，则 (1)

∵OA⊥OB ，∴，即．　 (2)

又点A，B在抛物线上，有．代入(2)化简，得．

∴，

∴所以重心为G的轨迹方程为．

32．(命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章)

如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，E为PD的中点．

　 (Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值；

(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．

解：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，

则A，B，C，D，P，E的坐标为A(0，0，0)，

，，，

，，

从而

设的夹角为，则

∴与所成角的余弦值为．

　 (Ⅱ)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为，则

，由面PAC，可得

　∴

即点的坐标为，从而点到和的距离分别为．

31．(命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章)

某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行． 根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不受影响．若甲第n局赢、平、输的得分分别记为、、令．

(Ⅰ)求的概率；

(Ⅱ)若随机变量满足(表示局数)，求的分布列和数学期望．

解：(I)，即前3局甲2胜1平．由已知，

甲赢的概率为，平的概率为，输的概率为，∴．概率为

(II)时，，且最后一局甲赢，；

的分布列为

	4	5

　 　　　　∴

30．(命题人：海门中学方伟，审题人：海门中学沈永飞)

某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金

解：设保险公司要求赔偿顾客交x元保险金，若以表示公司每年的收益额，则的分布列为

		－a
p	1－p	p

公司每年收益的期望值为：E＝x(1－p)+(x－p)p＝x－ap，

要使公司收益的期望值等于a的10%，只需E＝0.1a，即x－ap＝0.1a，x＝(0.1+p)a，

应交的保险金为(0.1+p)a．

29．(命题人：海门中学陈达，审题人：海门中学方伟)

已知函数的定义域为R，对任意实数满足，且．

(1)求；

(2)试用表示；

(3)用，的表达式来表示．

答案：(1)利用赋值法易得．

(2)令，由条件，得，所以．

(3)设，由条件，得，

所以．