5、已知复数，，则复数的虚部等于________

4、直线x+ay+3＝0与直线ax+4y+6＝0平行的充要条件是__ 　　

3、在数列中，若，，，则该数列的通项为　　　　　 。

2、命题“”为假命题，则实数的取值范围为______　　　　

1、已知向量，若，则实数=　　　　　

2．只要注意到，即可迅速得到答案.

例14、已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是( 　　)

A．　　　　 B．　　　　　　　 　　　 C．　　　　 　　　 D．

[解析]由于0＜a＜2，故∴。

[答案]C

例15、知复数z=1-i,则=(　　)

A．2i　　　　　　 　B．-2i　　　　　　　　　　　 　C．2　　　　　　　　 　D．-2

[解析]将代入得，选B．

[答案]B

例16、设z的共轭复数是，或z+=4,z·＝8，则等于(　　 　)

A.1　　　 B．-i　　　　 　　C．±1　　　　　　 　D． ±i

[解析] 可设，由得

[答案]:D．

例17、表示为，则=　　　　　 。

[解析]，因此=1。

[答案]1

例18、若复数z满足z＝i(2-z)(i是虚数单位)，则z＝　　　

[解析]由.

[答案]

例19、若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b为实数)，则b=

　 　A 　-2　 　B 　-　 　C 　　D 　2

[解析](1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i，故2b+1=0，故选B；

[答案]B；

例20、 若(为虚数单位)，则的值可能是

　 　A 　　　B 　　　C 　　D 　

[解析]：把代入验证即得。

[答案] D

例21、已知是实系数一元二次方程的两根，则的值为 (　)

A、　　 B、　　 C、　　 D、

[解析] 因为2+ a i，b+i( i 是虚数单位)是实系数一元二次方程的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程的两个根是 所以

[答案]A

例22、.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=

A．-2　　　　　　　 B．　　　　　　 C. 　　　　　　　D．2

[解析],依题意, 选 D .

[答案]D

例23、已知是实数，是春虚数，则=(　　 　)

(A)1　　　　 (B)-1　 　　　　　　(C) 　　　　(D)-

[解析]：由是纯虚数，则且故=1.

[答案]A

例24、复数　 (　　 )

A．2　　　　　　 　　　 B．－2 　　　　　　C．　　　 　　　　　 　　　 D．

[解析]：

[答案]：A.

例25、若复数(a²-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为( 　　)

A.1　　　　　　　　　　 　　 B.2　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.1或2　　　　　　　　 　　 　　　 D.-1

[解析]由得,且

[答案]B 例25、若复数()是纯虚数，则=　　　　 .2

[解析]由,所以=2.

　[答案].2

例26、．已知zi+z=2，则复数z=()

　　　 A．1－i　　　　　　　　　 B．1+i　　　　　　　　　　 C．2i　　　　　　　　　　　 D．－2i

[解析]由zi+z=2得Z=,所以选A项.

[答案]A

例27、．已知i是虚数单位，R，且是纯虚数，则等于(　 )

A．1　　 　　　　　　 B．-1 　　　　　　　 C．i　　 　　　　　　 D．-i

[解析]由=是纯虚数,得m=2,所以=.

例28、若z₁=a+2i，z₂=3－4i，且为纯虚数，则实数a的值是　 ▲　　 ．

[解析]＝，则由条件可得3a－8=0,得a=.

例29、已知，且(为虚数单位)，则z=_______;=_______.　

[解析]设Z=a+bi,则,所以由条件得: ,所以,即z=2i, =.

[答案]2i，．

例30、已知复数，则等于(　 )

A． 　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 　　 D．

[解析].

[答案] D

例30、若，则的值是(　　 )。

A．1　　　B．0　　　　C．－1　　　　D．－2

[解析] .

[答案]B

例31、已知的虚部为　　　　　　　　　　 ( 　　)

　　 A．1　　　　　　　 B．－1　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

[解析],故虚部是1.

[答案]A

例32、复数(是虚数单位)在复平面上对应的点位于 (　　 )

A．第一象限　　　 　 B．第二象限　 　　 C．第三象限　　 　 D．第四象限

[解析],所以在第二象限.

[答案]B

例33、若(其中是虚数单位，b是实数)，则b=　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．-4　　　　　　 B．4　　　　　　　 C．-8　　　　　　 D．8

[解析],所以b=-8.

例59、若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则此几何体的体积是　　　　　 ．

答案：18

[解析]该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18

例60、如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点

作，为垂足．设，则的取值范围是　　　　　　 ．

答案：

　[解析]此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 .　　

例62、设和为不重合的两个平面，给出下列命题： (1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；(2)若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；(3)设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。

上面命题中，真命题的序号　 　　　(写出所有真命题的序号). 　　　

[解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题的序号是(1)(2)

例63、直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于　　　　　 。 　　　　

解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. 　　　　

例64、对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________

(写出所有正确命题的编号)。 　　　　

1相对棱AB与CD所在的直线异面；

2由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；

3若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；

4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;

5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

[解析]①④⑤

例65、设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)。 　　　　

　则该几何体的体积为 　　　　　　　　　　　　　　　

[解析]这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于×2×4×3＝4

[答案]4

例67、在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 　　　　　

(1)球心到平面ABC的距离为 12 　；

(2)过A，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为 　3　

[答案]：(1)12；(2)3

[解析](1)由的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是，则由，可得。(2)设过三点的截面圆的圆心是中点是点，球心是点，则连三角形，易知就是所求的二面角的一个平面角，，所以，即正切值是3。.　　

例68、如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_______

[考点定位]本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。

解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为的等腰三角形，所以有。

例69、如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是

解析 解法1 由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C.

　 解法2 当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选C.

例70、在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是　　　　　　　　　 (写出所有正确结论的编号).

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体.

解析：在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC₁A₁；. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A₁BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB₁D₁；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA₁DC，所以填①③④⑤。

例73、如图，正方体的棱长为1，过点A作平面的垂线，垂足为点．

有下列四个命题

A．点是的垂心

B．垂直平面

C．二面角的正切值为

D．点到平面的距离为

其中真命题的代号是　　　　　　　　　　　　 ．(写出所有真命题的代号)

解析：因为三棱锥A-是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B正确；

连接即为二面角的平面角,

　C正确; 对于D, 连接面,故点是

的三等分点,故点到平面的距离为从而D错.

则应填A，B，C.

例74、若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为　　　　 ．

解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得R=，球体积为

例75、已知三点在球心为，半径为的球面上，，且那么两点的球面距离为_______________，球心到平面的距离为______________.

解：如右图，因为，所以AB是截面

的直径，又AB＝R，所以△OAB是等边三角形，

所以ÐAOB＝，故两点的球面距离为，

于是ÐO₁OA＝30°，所以球心到平面的距离

OO₁＝Rcos30°＝.

例76、如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周

到达点的最短路线的长为　　　 .

解：将正三棱柱沿

侧棱CC₁展开，其侧面展开图如

图所示，由图中路线可得结论。

例77、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______

[解析]不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.

[点评]本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的应用.

例78、如图，在正三棱柱ABC-中，所有棱长均为1，则点B到平面ABC的距离为　　.

解：利用等体积法，易知V_B1-ABC1=，

所以点B到平面ABC的距离为

例79、水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是　　　 　

解：水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R，侧棱长为3R，求得它的高为R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R．

例80、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 　　　　　　　　　．

解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；

例81、是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：

①　　　　　　 ②

③　　 　　　　④

其中真命题的编号是　　　　 　;(写出所有真命题的编号)

解析：四个命题：①,为真命题；②，为假命题；③为假命题； ④为真命题，

所以真命题的编号是①、④.

例23、数列中,且满足

(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设求的解析式;

(Ⅲ)设计一个求的程序框图.

[解](Ⅰ) 所以数列为等差数列. ………………………2分　

又

所以……………………………………4分　

(Ⅱ)令则有所以

　　　 所以当时,

……………………6分

当时,

……………8分

(Ⅲ)

……………………………………………12分

例24、设数列的前项和为，点在直线上，为常数，．

(Ⅰ)求；(Ⅱ)若数列的公比,数列满足，求证：为等差数列，并求；(III)设数列满足，为数列的前项和，且存在实数满足，，求的最大值．

[解](Ⅰ)由题设，　　　　　 ①…………………1分　

由①，时，　　　　　 ② ………………2分　

①②得，

…………………………………………………………………5分　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

　　 化简得： 　…………………………7分　　

为等差数列，………………………9分　　　　　　　　　　　　　　　　　

(III)由(Ⅱ)知为数列的前项和，因为，

所以是递增的， .……………………………………………12分

所以要满足，，

所以的最大值是.……………………………………………………………………14分

w. 例25、已知数列{}中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(1)令求证数列是等比数列(2)求数列

　⑶ 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。

解：(I)由已知得　

又

是以为首项，以为公比的等比数列.

(II)由(I)知，

将以上各式相加得：

(III)解法一：存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：存在，使数列是等差数列.由(I)、(II)知，

又

当且仅当时，数列是等差数列.

例26、如图，是曲线

上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .(Ⅰ) 写出；(Ⅱ)求出点的横坐标关于的表达式；

(Ⅲ)设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

解：(Ⅰ) .…………………………………………… 2分

(Ⅱ)依题意，则

，… 3分

在正三角形中，有

　..……………… 4分

， ，　　　 ①

同理可得 .　　　　　　　　 ②

①-②并变形得

， ，　　　　　　 … 6分

　.　　　　 ∴数列是以为首项，公差为的等差数列. ， …………………………………… 7分

，.

.　　　　　　　　　　　　　　 ………………………… 8分

(Ⅲ)解法1 ：∵， ∴.

.∴当时，上式恒为负值，∴当时，，

∴数列是递减数列.　　　　 的最大值为.　 ……………… 11分

若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立.

　　 设，则且，∴

解之，得　 或，即的取值范围是.…………… 14分

解法2：∵，

设，则.

当时，，在是增函数.∴数列是递减数列. 的最大值为.　 …… 11分

(以下解答过程与解法1相同)

例27、已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数 (1)用表示；(2),若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)若数列的前项和，记数列的前项和，求。解：(1)由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为，即　 -2分

令，得，即由题意得，所以　　　　　 --4分

(2)因为，所以

即，所以数列为等比数列故 ---8分　

(3)当时，当时，

所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为

　 ①　　　 ①的　 ②

①②得故　　　　　 --14分

例28、

例29、数列的前项和为，已知

(Ⅰ)写出与的递推关系式，并求关于的表达式；

(Ⅱ)设，求数列的前项和。

解：由得：，即，所以，对成立。由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。

(Ⅱ)由，得。而，

例30、已知数列{}中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。

解：(I)由已知得　

又

是以为首项，以为公比的等比数列.

(II)由(I)知，

将以上各式相加得：

(III)解法一：存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：存在，使数列是等差数列.

由(I)、(II)知，

又　　　

当且仅当时，数列是等差数列.

例32、在数列中，，其中．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和；(Ⅲ)证明存在，使得对任意均成立．

(Ⅰ)解法一：，，

．由此可猜想出数列的通项公式为．

以下用数学归纳法证明．(1)当时，，等式成立．

(2)假设当时等式成立，即，

那么．

就是说，当时等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式对任何都成立．

解法二：由，，可得，

所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．

(Ⅱ)解：设，　　①

　　　　②

当时，①式减去②式，得，

．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．

(Ⅲ)证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

．　　③由知，要使③式成立，只要，

因为

．所以③式成立．

因此，存在，使得对任意均成立．

例33、已知数列中，，．

(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若数列中，，，

证明：，．

解：(Ⅰ)由题设：

，．

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，

即的通项公式为，．

(Ⅱ)用数学归纳法证明．(ⅰ)当时，因，，所以

，结论成立．(ⅱ)假设当时，结论成立，即，

也即．当时，

，又，

所以　．

也就是说，当时，结论成立．

根据(ⅰ)和(ⅱ)知，．

例34、数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.(1)求；(2)求证.

解：(1)设的公差为，的公比为，则为正整数，，

依题意有①由知为正有理数，故为的因子之一，

解①得故

(2)∴

例35、　 数列

　 (Ⅰ)求并求数列的通项公式；

　 (Ⅱ)设证明：当

　 解:　 (Ⅰ)因为所以

一般地，当时，＝，即

所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此

当时，

所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，　　　 ①

　　 ②

　 ①-②得，

　 所以

　 要证明当时，成立，只需证明当时，成立.

　 证法一(1)当n = 6时，成立.

　 (2)假设当时不等式成立，即

　 则当n=k+1时，

　 由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，

　 证法二 令，则

　 所以当时，.因此当时，于是当时，

综上所述，当时，

例36、已知数列的首项，，．

(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)证明：对任意的，，；

(Ⅲ)证明：_试题详情