19.(本小题满分12分)

已知圆 交轴正半轴于点A，点F满足，以F为右焦点的椭圆的离心率为.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设过圆上一点P的切线交直线 于点Q，求证：.

22、解：(Ⅰ)由题意知

当

当

当….(4分)

(Ⅱ)因为

由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1.

所以　　　　　　 …………6分

(Ⅲ)

令

①　　 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值

②　　 当时，有两个实根

当x变化时，、的变化情况如下表所示：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

的极大值为，的极小值为

③　　 当时，在定义域内有一个实根，

同上可得的极大值为　　　 ……

……10分

综上所述，时，函数有极值；

当时的极大值为，的极小值为

当时，的极大值为…………12分

22、已知函数。

(1)求函数的定义域，并判断的单调性；

(2)若

(3)当(为自然对数的底数)时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。

21、解：(1)设，，．

∵是线段的中点，∴　　　　　　　　　　　　　 ………2分

∵分别是直线和上的点，∴和．

∴　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

又，∴．　　　　　　　　　 …………5分

∴，∴动点的轨迹的方程为．　　　 …………6分

(2)依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．

设、、，

则两点坐标满足方程组

消去并整理，得，　 　　　　…………8分

∴， ①　　 ．　　 ②　　　　　

∵，∴

即∴．∵与轴不垂直，∴，

∴，同理．　　　　　　　　　　　　　 ………10分

∴．

将①②代入上式可得．　　　　　　　　　 …………12分

21、已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点任意作直线(与轴不垂直)，设与(1)中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．

20、解：(1)分别令n=1，2，3，4可求得 ………2分

当n为奇数时，不妨设n=2m1，，则， 为等差数列，

=1+2(m1)=2m1, 即。　　　　　 ………4分

当n为偶数时，设n=2m，，则， 为等比数列，

，故，

综上所述，　　　　　　　 ………6分

(2)

　　　　　　 ………8分

两式相减：

　　　　　　　 　　　　　　………10分

，故　　　　　　　　　　　　　　 ………12分

注：若求出猜想出通项(1)问给2分，在上面基础上(2)问解答正确给8分。

20、已知数列满足，，且，

(n=1,2,3,).

(1)求的值及数列的通项公式；

(2)令，记数列的前n项的和为，求证：<3.

24．(1)当时，…………2　 当时，，………4　　　　

　　　　 所以，的值域为；………5

　　 (2)当时，原不等式，

　　 此时解集为；……6

　　 当时，原不等式，

　　 此时解集为；……7

　　 当时，原不等式，

　　 此时解集为；………8

　　 综上，不等式的解集为　 ………………10

24．选修4-5：不等式证明选讲

　　　　 已知函数

　 (1)求函数的值域；

　 (2)若，解不等式　

23．(1)；………4

　　　　 (2)设，

　　　　 则=……6

　　　　 当时，的最大值为　 …………10