20．(本题满分14分)

设函数

(1)当时，求函数在上的最大值；

(2)记函数，若函数有零点，求的取值范围.

19．解：(1)当点P不在x轴上时，延长F₁M与F₂P的延长线相交于点N,连结OM，

∵,　 ∴≌ ∴M是线段的中点，

|----------------------------------------------------2分

∴ = ==

∵点P在椭圆上

∴＝　　 ∴＝4，----------------------4分

当点P在x轴上时，M与P重合

∴M点的轨迹T的方程为：.----------------------6分

(2)连结OE，易知轨迹T上有两个点

A，B满足,

分别过A、B作直线OE的两条平行线、.

∵同底等高的两个三角形的面积相等

∴符合条件的点均在直线、上.------------------------------------7分

∵　 ∴直线、的方程分别为：、-------------------8分

设点 ( )∵在轨迹T内，∴--------------------------------9分

分别解与

得 与　 --------------------------------------------------------------------11分

∵∴为偶数，在上对应的

在上，对应的------------------------------------------------13分

∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：

．-----------------------------------------------------14分

19．(本题满分14分)

已知如图，椭圆方程为.P为椭圆上的动点,

F₁、F₂为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F₁作∠F₁PF₂的外角

平分线的垂线F₁M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．

(1)求M点的轨迹T的方程；

(2)已知、，试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点)，且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

24．(本题满分10分)

证明：下面用数学归纳法证明

　 (1)

　 (2)假设时成立，即

由(1)(2)得，原式成立。　 ………………10分

23．(本题满分10分)

　 (I)直线的普通方程为：；

圆的直角坐标方程为：　 ………………4分

　 (II)圆心到直线的距离，

直线被圆截得的弦长　 ………………10分

22．(本题满分10分)

　 (I)证明：

∴圆心O在直线AD上。　 ………………5分

　 (II)连接DF，由(I)知，DH是⊙O的直径，

∴点C是线段GD的中点。　 ………………10分

22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

　 如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G。

　 (I)求证：圆心O在直线AD上；

　 (II)求证：点C是线段GD的中点。

21．(本题满分12分)

解：(I)上是单调增函数，

　 ………………2分

而是偶函数。

　　 ………………4分

　 (II)(i)不是方程的根。

为使处有极值，

必须恒成立，　　 ………………6分

即有

得是唯一极值。

　 ………………8分

　 (ii)由条件恒成立。

当　 ………………9分

因此函数在[-2，2]上的最大值是两者中较大者。　 …………10分

为使对方任意的，不等式在[-2，2]上恒成立，

当且仅当上恒成立。

所以，因此满足条件的b的取值范围是　 …………12分

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

21．(本小题满分12分)

　　 已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数。

　 (I)求函数的解析式；

　 (II)设函数

　　　 (i)若函数处有极值，求a的取值范围；

　　 　　(ii)对于任意的在[-2，2]上恒成立，求的取值范围。

20．(本题满分12分)

　 (I)由

由A，M是椭圆上的点得，

　　 ①

　　　 ②

①-②得，

(定值)　 ………………5分

　 (II)点M的坐标为(0，1)，则

显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，代入椭圆方程得，

由　 ③，

又　　 ④，

由③，④得，，

化简得，

　 ………………9分

则直线AB的方程为

　 ………………10分