5．(2011·大连质检)下列命题中真命题的个数是(　)

①∀x∈R，x⁴>x²；

②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；

③命题“∀x∈R，x³－x²+1≤0”的否定是“∃x∈R，x³－x²+1>0”．

A．0 　　　　　　　　　 　B．1　　　　　　　　　　　　　 C．2 　　　　　　　　　 　D．3

解析：①x＝0时，x⁴>x²不成立，①为假命题；②若p∧q是假命题，则p，q至少有一个是假命题，②不成立，为假命题；③正确．

答案：B

4．(2011·汕头模拟)下列说法中，正确的是(　)

A．命题“若am²<bm²，则a<b”的逆命题是真命题

B．命题“∃x∈R，x²－x>0”的否定是“∀x∈R，x²－x≤0”

C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题

D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件

解析：“∃x∈R，x²－x>0”为特称命题，则它的否定应为全称命题，即“∀x∈R，x²－x≤0”．

答案：B

3．已知命题：p∧q为真，则下列命题是真命题的是(　)

A．(綈p)∧(綈q)　 　　　　　　　　　 B．(綈p)∨(綈q)

C．p∨(綈q)　 　　　　　　　　　　　　 D．(綈p)∧q

解析：∵p∧q为真，∴p与q都为真，

∴綈p，綈q均为假，故p∨(綈q)为真命题．

答案：C

2．已知命题p：∀x∈R，x>sinx，则p的否定形式为(　)

A．綈p：∃x∈R，x<sinx　 　　　　　　 B．綈p：∀x∈R，x≤sinx

C．綈p：∃x∈R，x≤sinx　 　　　　　 D．綈p：∀x∈R，x<sinx

解析：命题中“∀”与“∃”相对，则綈p：∃x∈R，x≤sinx.

答案：C

1．命题p：2n－1是奇数，q：2n+1是偶数(n∈Z)，则下列说法中正确的是(　)

A．p或q为真　　　　 B．p且q为真

C．非p为真　 　　　　　　　　　　　　 D．非q为假

解析：由题设知：p真q假，故p或q为真命题．

答案：A

12．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

解：(1)依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x)(万元)，销售量为

1 000×(1+0.6x)(辆)．

故利润y＝[1.2×(1+0.75x)－(1+x)]×1 000×(1+0.6x)，

整理得y＝－60x²+20x+200(0<x<1)．

(2)要保证本年度利润比上一年有所增加，

则y－(1.2－1)×1 000>0，

即－60x²+20x+200－200>0，

即3x²－x<0.

解得0<x<，适合0<x<1.

故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是0<x<.

11．已知f(x)＝x²－1，g(x)＝

(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；

(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．

解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，

∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2.

(2)当x>0时，g(x)＝x－1，

故f[g(x)]＝(x－1)²－1＝x²－2x；

当x<0时，g(x)＝2－x，

故f[g(x)]＝(2－x)²－1＝x²－4x+3；

∴f[g(x)]＝

当x>1或x<－1时，f(x)>0，

故g[f(x)]＝f(x)－1＝x²－2；

当－1<x<1时，f(x)<0，

故g[f(x)]＝2－f(x)＝3－x².

∴g[f(x)]＝

10．若函数f(x)＝(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．

解：由f(2)＝1得＝1，即2a+b＝2；

由f(x)＝x得＝x，变形得x(－1)＝0，

解此方程得x＝0或x＝，

又因方程有唯一解，∴＝0，

解得b＝1，代入2a+b＝2得a＝，

∴f(x)＝.

9．设函数f(x)(x∈N)表示x除以2的余数，函数g(x)(x∈N)表示x除以3的余数，则对任意的x∈N，给出以下式子：

①f(x)≠g(x)；②g(2x)＝2g(x)；③f(2x)＝0；④f(x)+f(x+3)＝1.

其中正确的式子编号是________．(写出所有符合要求的式子编号)

解析：当x是6的倍数时，可知f(x)＝g(x)＝0，所以①不正确；容易得到当x＝2时，g(2x)＝g(4)＝1，而2g(x)＝2g(2)＝4，所以g(2x)≠2g(x)，故②错误；当x∈N时，2x一定是偶数，所以f(2x)＝0正确；当x∈N时，x和x+3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f(x)和f(x+3)中有一个为0、一个为1，所以f(x)+f(x+3)＝1正确．

答案：③④

8．下列对应中，是从集合A到集合B的映射的是________．

(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝；

(2)A＝，B＝，f：a→b＝；

(3)A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y²＝x；

(4)A＝{平面α内的矩形}，B＝{平面α内的圆}，f：作矩形的外接圆．

解析：(1)当x＝－1时，y值不存在，所以不是映射．

(2)A，B两集合分别用列举法表述为A＝{2,4,6，…}，B＝，由对应法则f：a→b＝知是映射．

(3)不是映射，如A中元素1有两个象±1.

(4)是映射．

答案：(2)(4)