4．若2(x－2y)＝x+y，则的值为(　)

A．4　　　　　　　　　　　　　　 B．1或　　　　　　　　 C．1或4　　　　　　　　　 D．

3．()等于(　)

A．1　　　　　　　　　　　　　　 B．－1　　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　　 D．－2

2．log₇［log₃(log₂x)］＝0，则等于(　)

A．　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

1．(a≠0)化简得结果是(　)

A．－a　　　　　　 　　　　 B．a²　　　　　　　　 　　　　 C．｜a｜　　　　 　　　　 D．a

［考题1］求下列各式的

(1)；(2)；

(3)；(4)

［解析］(1)由，得，即；

(2)由，得，即，故；

(3)由，得故；

(4)由，得故

［点评］对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段。

［考题2］求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)

［分析］利用对数的性质求解，首先要明确解题目目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算。

［解析］(1)原式

(2)原式=

==

(3)∵

∴原式

［点评］对数的求值一般有两种方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。

［考题3］已知求

［解析］已知条件与所求对数的底是不相同的，因此考虑应用换底公式。

解法一：∵，∴

∴

解法二：∵，∴

∴

解法三：∵

∴

∴

［点评］本题还有其他方法，这里，都是把指数式改写为对数式，再把所求对数通过换底公式换成和它相同底数的对数，以便利用已知条件和对数的性质求解。

［考题4］(1)设，求的值.

(2)已知均大于1，，求

［分析］(1)首先将指数式化为对数式，再利用对数的性质进行计算。(2)观察已知条件，真数相同，底数不同，若将拆成、、，则问题获得解决，因此，要多次使用等式

［解析］(1)∵

∴

∴，

∴

(2)由得

由得，

由得，

即

∴，

解得

∴

［点评］(1)本题(1)通过将、的值用换底公式转化为同底数的对数，再利用对数的运算法则求值，此外，我们还可以用换底公式得到一个常用的关系式，常用来把分式转化为整式。

(2)对数的换底公式在解题中起着重要的转化作用，能够将不同底的问题转化为同底，从而使我们利用对数的运算性质解题的想法得以实现。

［考题5］已知、、为正数，且，求的取值范围.

［解析］∵

∴

∴

∵，∴上式关于的方程有实根。

∴.

∴

∴，或

∴或

［点评］对数知识又常常与其他知识交汇在一起，构成较复杂的题目，如此题与方程、不等式综合，这时首先要牢牢掌握对数的定义，注意其与指数式的转化；灵活运用运算法则就可使问题得到解决。

［考题6］科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳-14，碳-14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰变的碳-14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳-14含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳-14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年。

(1)设生物体死亡时，体内每克组织的碳-14含量为l，试推算生物死亡年后体内每克组织中的碳-14含量P；

(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸体出土时碳-14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代。

［解析］(1)设生物体死亡后时，体内每克组织中的碳-14的含量为1,1年后的残留量为，由于死亡机体中原有碳-14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数与其体内每克组织的碳-14含量P有如下关系：

死亡年数　　　　　　　　 1　　　 2　　　 3　　　 …　　 　　　 …

碳-14含量P　　　　　　 　　 　 　　 …　　 　　 …

因此，生物死亡年后体内碳-14的含量

由于大约每过5730年，死亡生物体的碳-14含量衰减为原来的一半，所以

于是

这样生物死亡年后体内碳-14的含量

(2)由对数与指数的关系，指数式，两边取常用对数得到，∴

湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳-14的残留量约占原始含量的76.7%，即，那么，那么

由计算器可算得

所以，马王堆古墓约是2100多年前的遗址。

［点评］要计算，由于在指数上，计算是不可能的，当转为对数式可以计算其结果。

4．对数与指数式的关系及相互转换

利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决，求某些对数值就可把它转化为指数问题。

3．换底公式

利用对数的换底公式，能够将一般对数式转化为自然对数或常用对数，为解决实际问题和数学计算带来方便。

(1)常用对数：对数在底数时，叫做常数对数，记作

求一个正实数的常用对数，可通过对数表或使用计算器求解。

(2)自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数为底的对数，以e为底的对数叫做自然对数，通常记作

(3)自然对数与常用对数的关系：

(4)要注意换底公式特点：

从左到右，将以为底的对数换成了以为底的对数，统一了底数，为计算带来了方便；从右至左，将分式化为整数，为化简带来了方便。

一般地，如果，那么数叫做以为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，N叫做真数。

说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数的另一种表达形式，例如：与这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式

(2)“”同“+”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。

(3)根据对数的定义，对数具有下列性质：

①零和负数没有对数，即；

②1的对数为零，即；

③底的对数等于1，即

2．对数的运算法则

(1)基本公式：

①，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和。

②，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。

③，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数。

(2)要熟练掌握公式的运用和逆用。

(3)在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。

例如：真数为两负数的积，不能写成=

10、已知定义在实数集R上的偶函数，f(x)在[0，+∞)上为单调增函数，　　　　　　　 若f(1) < f(lgx)，求x的取值范围.

9、给它函数f(x) = 　，则f(log₂3)等于　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B　 　　　　　　　　　　　　　　　　 C　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D