6、已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。

(Ⅰ)证明：面PAD⊥面PCD；(Ⅱ)求AC与PB所成的角；(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

证：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).

(I)证明：因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP⊥DC.

又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD。

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

(II)解：因=(1,1,0),=(0,2,-1),

故||=，||=，·=2，所以

cos<·>==

由此得AC与PB所成的角为arccos

(III)解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R，使

=λ，

=(1-x,1-y,-z), =(1,0,-),∴x=1-λ,y=1,z=λ.

要使AN⊥MC只需·=0,即x-z=0,解得λ=.

可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使·=0.

此时, =(,1,),=(,-1,),有·=0.

由·=0, ·=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.

∵||=,||=,·=-∴cos<,>=故所求的二面角为arccos(-).

5、如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。

(I)证明：ED为异面直线与的公垂线；(II)设求二面角的大小

(Ⅰ)如图，建立直角坐标系其中原点为 的中点。

设则

又=(-2a,0,2c)

,∴ED⊥AC₁所以是异面直线与的公垂线。

(Ⅱ)不妨设

则

，

，即，又，

　　　 面又　　　 ，

　　　 　，

　　　　 ，即，又，

　　　 面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 ，即得和的夹角为，

所以二面角为

4、如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在直线l上的射影为B₁，已知AB＝2，AA₁=1，BB₁＝，求：

(Ⅰ)直线AB分别与平面α，β所成的角的大小；(Ⅱ)二面角A₁－AB－B₁的大小.

证∵α⊥β，α∩β=l，AA₁⊥l，BB₁⊥l，　 ∴AA₁⊥β，BB₁⊥α，

则∠BAB₁，∠ABA₁分别是AB与α和β所成的角.

Rt△BB₁A中，BB₁=，AB=2，∴sin∠BAB₁=，

∴∠BAB₁=45°.

Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2，

∴sin∠ABA₁=，　　　　 ∴∠ABA₁=30°.

故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°.

(Ⅱ)如图，建立坐标系，则A₁(0，0，0)，A(0，0，1)，B₁(0，1，0)，B(，1，0).

在AB上取一点F(x，y，z)，则存在t∈R，使得=t，

即(x，y，z－1)=t()，∴点F的坐标为(t，t，1－t).

要使　 ，须=0，即(，t，1－t)·(，1，－1)=0，2t+t－(1－t)=0，解得t=，∴点F的坐标为()∴().

设E为AB₁的中点，则点E的坐标为(0，).∴

又∴，　 　∴∠A₁FE为所求二面角的平面角.

又　 cos∠A₁FE=　

　　　　　　　　　 　 ∴二面角A₁－AB－B₁的大小为arccos.

2、.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=8,AD=4,侧面PAD为等边三角形,并且与底面所成二面角为60°.

(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积; (Ⅱ)证明PA⊥BD.

1.如下图,在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,已知AB=4,AD=3,AA₁=2. E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.

(Ⅰ)求二面角C-DE-C₁的正切值;(Ⅱ)求直线EC₁与FD₁所成角的余弦值.

4. (1)∵底面是正方形，∴AD⊥CD

　　 又PA⊥底面AC，∴PD⊥CD(三垂线定理)

∴∠PDA=45°∴AD=PA=a

　　 建立直角坐标系(如图所示)

　　 则易得：A(0，0，0)B(a，0，0)

　 又E、F分别是AB、PD的中点

　 ∴

　 设平面PCE的法向量为

　 则由

　 ∴

　又AFË平面PCE，故AF∥平面PCD

(2)易得

　得法向量为，又由(1)知：

　∴从而平面PCE⊥平面PCD。

　　 (3)∵

　　　　 ∴求点D到平面PCE的距离

3.

2.(Ⅰ)CN＝时，MN⊥AB₁；(Ⅱ)　　

1. 解1：由条件知：BA、BC、BE三线两两垂直

　 成以可建直角坐标系如图所示

　 ∵CM=1　 ∴　　　　

　 ∴

又　　 Þ

∴

故MN与BE所成角的余弦值为

注：求点M的坐标用到了空间定比分点坐标公式：

2. (1)(2)(3)(4) (5)(6)(7)(8)(9)(10)

3解：1) 建立空间直角坐标系A-xyz　　　　　　　　　　　 　　　

　　 则：A(0，0，0)，B(，1，0)

　　 C(0，2，0)，C₁(0，2，2)，A₁(0，0，2)　　　　 　　　　　　　　　　　　　

　 ∴D　　　　　　　　　　　　 　　　

∴　　　　　　　　

　 设平面ADC₁的法向量为　　　　　　　　　　　

　 从而有：

　 取

　 ∵

　 又 A₁BË平面ADC₁

　 ∴A₁B∥平面ADC₁

　 2)由1)知，A₁B∥平面ADC₁，

所以A₁B与截面ADC₁的距离等于A₁点到截面ADC₁的距离

　 ∵∴

　 ∴

　 故A₁B与截面ADC₁的距离等于

　　　 巩固提高：