15已知平面α∥β,AB、CD为夹在α、β间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点.求证:EF∥α,EF∥β.

分析:要证EF∥α，根据线面平行的判定定理，只需在α内找一条直线与EF平行；或过EF作一平面，使该平面与α平行，据面面平行的性质定理即可证得.

证法一:

连结AF并延长交β于G?.

∵AG∩CD=F,

∴AG、CD确定平面γ，且γ∩α=AC,γ∩β=DG.

∵α∥β,∴AC∥DG.∴∠ACF=∠GDF.

又∠AFC=∠DFG，CF=DF,

∴△ACF≌△GDF.∴AF=FG.

又AE=BE,∴EF∥BG.

∵BGβ,∴EF∥β.

同理,FE∥α.

证法二:∵AB与CD为异面直线,∴ACD.

在A、C、D确定的平面内过点A作AG∥CD交β于点G，取AG的中点H，连结AC、HF.

∵α∥β,∴AC∥DG∥FH.

∵DGβ,∴HF∥β.

又∵E为AB的中点,

∴EH∥BG.∴EH∥β.

又EH∩HF=H,∴平面EHF∥β.

∵EF平面EHF,∴EF∥β.同理,EF∥α.

16如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.

答案:已知:α∥β,γ∥β,

求证:α∥γ.

证明:如图,作两个相交平面分别与α,β,γ交于a,c,e和b,d,f.

α∥γ.

17如图所示,A,B,C,D四点在平面M和N之外,它们在M内的射影A₁,B₁,C₁,D₁成一直线,在N内的射影A₂,B₂,C₂,D₂组成一个平行四边形,求证:ABCD是平行四边形.

证明:∵A,B,C,D四点在平面M内的射影是一条直线,

∴ABCD为平面四边形.

又AA₂⊥平面N,DD₂⊥平面N,

∴AA₂∥DD₂.

∵A₂B₂∥C₂D₂,

∴平面AA₂B₂B∥平面CC₂D₂D.

又ABCD为平面四边形,

∴AB∥CD.

同理可证AD∥BC.

∴ABCD为平行四边形.

18如图,正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a,过其对角线BD₁的平面分别与AA₁、CC₁相交于点E,F,求截面四边形BED₁F面积的最小值.

解:由平面与平面平行的性质定理可证BF∥D₁E,BE∥D₁F.

∴BED₁F是平行四边形.作EH⊥BD₁于H.

∵=2·=BD₁·EH=EH·a,

∴要求四边形BED₁F面积的最小值,转化为求EH的最小值.

∵AA₁∥平面BDD₁B₁,

∴当且仅当EH为直线AA₁到平面BDD₁B₁的距离时,EH最小,易得EH_min=.

∴的最小值为a².

19(2006高考天津卷,理19)如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面

CDE是等边三角形,棱EFBC.

(1)证明FO∥平面CDE;

(2)设BC=CD,证明EO⊥平面CDF.

证明:(1)取CD中点M,连结OM,在矩形ABCD中,

OMBC,又EFBC,则EFOM.连结EM,

于是四边形EFOM为平行四边形.

∴FO∥EM.

又∵FO平面CDE,且EM平面CDE,

∴FO∥平面CDE.

(2)连结FM.由(1)和已知条件,在等边△CDE中,

CM=DM,EM⊥CD且EM=CD=BC=EF.

因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM.

∵CD⊥OM,CD⊥EM,

∴CD⊥平面EOM.从而CD⊥EO.

而FM∩CD=M,所以EO⊥平面CDF.

11如下图,点P是一光源,将一投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化.

答案:平行

解析:当α∥β时,易证△ABC∽△A′B′C′,从而形状不会发生变化.

12设直线a在平面M内,则平面M平行于平面N是直线a平行于平面N的__________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不?必要?”)

答案:充分不必要

解析:设p:平面M∥平面N，q:直线a∥平面N.

a∩N=a∥N,?

∴pq.

平面N与平面M不一定平行,

∴qp.

13如图，已知平面α∥平面β，线段AB、CD夹在α、β之间，AB=13，CD=，且它们在β内的射影之差为2，则α和β之间的距离是____________.

答案:5

解析:设A、C在平面β上的射影为A′、C′，则α、β之间的距离AA′=CC′=a,且BA′、DC′分别为AB、CD在β内的?射影.?

在Rt△ABA′中，AB=13，

则BA′=.

在Rt△CDC′中，CD=，

则C′D=.

又∵C′D与A′B相差为2，

即A′B-C′D=2，=2.

∴a=5.∴平面α、β的距离为5.

14设P表示点,m,n,l表示两两不重合的三条直线,以α,β表示两个不重合的平面,那么下列四个命题:①m⊥α,若n⊥α,则m∥n;②mα,n∩α=P,l是n在α内的射影.若m⊥l,则m⊥n;③m⊥α,若n∥a,l∥α,则m⊥n,m⊥l;④m⊥α,若m⊥β,则α∥β中逆命题能成立的序号是________.

答案:①②④

解析:命题③的逆命题是:m⊥α,若m⊥n,m⊥l,则n∥α,l∥α,错误的原因在于满足条件的直线n和l可能在平面α内,故①②④能成立.

1设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的是…(　　 )

A.lα,mα,且l∥β,m∥β

B.lα,mα,且l∥m

C.l⊥α,m⊥β,且l∥m

D.l∥α,m∥β,且l∥m

答案:C

解析:

如左上图,A错;如右上图,D错;B显然错.故选C.

2下列命题中正确的是(　　 )

①平行于同一直线的两个平面平行　 ②平行于同一平面的两个平面平行　 ③垂直于同一直线的两个平面平行　 ④与同一直线成等角的两个平面平行

A.①②　　　　　　　　 B.②③　　　　　　　 C.③④　　　　　　　 D.②③④

答案:B

解析:如图(1),①错;如图(2),④错.故?选B?.

3给出下列四个命题:①夹在两个平行平面间的线段中,较长的线段与平面所成的角较小;②夹在两个平行平面间的线段相等,则它们与两个平面所成的角相等;③夹在两个平行平面间的线段相等,则这两线段必平行;④夹在两个平行平面间的平行线段必相等.

其中正确的命题有(　　 )

A.①②④　　　　　　　 B.②③④　　　　　　　 C.①③　　　　　　 D.④

答案:A

解析:由于两个平行平面间的距离是定值，所以①②显然正确;如图,a,b相等,但ab,故③错;④正确.故选A.

4设α,β表示平面,a表示直线,且直线a不在平面α或β内,并有①α∥β;②a⊥α;③a⊥β.以其中任意两个为条件,另一个为结论,可构造出三个命题.其中正确命题的个数是(　　 )

A.1　　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　　 C.3　　　　　　　　 D.0

答案:C

解析:a⊥β,即①②③.α∥β,即②③①.

a⊥α,即①③②.故选C.

5已知平面α∥平面β,α,β之间的距离等于d,直线aα,则β内?(　　 )

A.有且只有一条直线与a的距离等于d

B.有无数条直线与a的距离等于d

C.所有直线与a的距离都等于d

D.仅有两条直线与a的距离等于d

答案:B

解析:过直线a上任一点作平面β的垂线,垂足为A,过点A在平面β内作直线b∥a,此时a与b间的距离为d;在平面β内所有与a异面的直线间的距离也都是d.

6如果平面α∥平面β,直线a平面α,点B∈β,则平面β内过点B的所有直线中,下列结论成立的是(　　 )

A.不一定存在与a平行的直线

B.不存在与a平行的直线

C.存在唯一一条与a平行的直线

D.存在无数条与a平行的直线

答案:C

解析:如图所示.

过直线a与点B所确定的平面γ,且γ∩β=b,直线b∥直线a,且唯一.故选C.

7已知m,n是不同的直线,α,β是不重合的平面,给出下列命题:?

①若m∥α,则m平行于平面α内的任意一条直线;

②若α∥β,mα,nβ,则m∥n;

③若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;

④若α∥β,mα,则m∥β.

其中正确的命题是(　　 )

A.①②③　　　　　　　　　　　　　　　 B.③④

C.②③　　　　　　　　　　　　　　　 　D.④

答案:B

解析:若m∥α,则m平行于过m所作平面与α相交的交线,并非α内任一条直线,故①错;

若α∥β,mα,nβ,则可能m∥n,也可能m,n异面,故②错;

α∥β,③正确;m∥β,④正确.

8已知平面α∥平面β,C、A∈α,B、D∈β,AB⊥CD,且AB=2，直线AB与平面α所成的角为30°，则线段CD长的取值范围为(　　 )

A.［1，+∞)　　　　　　　　　　　　　 B.(1,]

C.(,)　　　　　　　　　　　　 D.［,+∞)

答案:D

解析:如图，

过D作DA′∥AB交平面α于A′，由α∥β,故DA′=AB=2.DA′与α成30°角，由已知DC⊥AB,可得DC⊥DA′,所以DC在过DC且与DA′垂直的平面γ内.令γ∩α=l,在γ内?DC₀⊥l时最短，此时DC₀=DA′·tan30°=,故CD≥.

9已知平面α∥平面β，其间夹一垂线段AB=4，另一斜线段CD=6，且AC=BD=3.E、F分别是AB、CD的中点，则EF的长为(　　 )

A.1　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.2　　　　　 D.

答案:C

解析:如图，过F作AB的平行线，交α、β于P、Q两点，则四边形ABQP为矩形.

∵E、F分别为AB、CD的中点，故EF⊥PQ.

由Rt△EAC≌Rt△EBDEC=ED,

则△APC为直角三角形.

在Rt△CPF中，CP²=CF²-PF²=5CP=.

在Rt△CPA中，AP²=AC²-CP²=3²-(.)²=4.

∴AP=2.而AP=EF，∴EF=2.

10一间民房的屋顶有如下图的三种盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法的屋顶面积分别为P₁,P₂,P₃.若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则(　　 )

A.P₁<P₂<P₃ B.P₁=P₂<P₃

C.P₁<P₂=P₃ D.P₁=P₂=P₃

答案:D

解析:由S_底=S_侧cosθ可得P₁=P₂,

而P₃=2

又∵2(S₁+S₂)=S_底,∴P₁=P₂=P₃.

第Ⅱ卷(非选择题)

5．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：平面AB₁D₁∥平面C₁DB.

4．设AB、CD是夹在两个平面a、b之间的异面线段，M、N分别是AB、CD的中点，求证：直线MN∥a.

3．判断题

　(1)若一条直线和两个平面成等角，则两个平面平行.　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　(2)两个平面平行，则一个平面内的任意直线与另一个平面平行.　　　　　 (　 )

　(3)若直线平行平面，则直线平行平面内的任意直线.　　　　　　　　　　　　　 (　 )

2．填空题

　(1)两条直线没有公共点时，它们的位置关系是　　　　　　　　 　　　　　　　；

两个平面没有公共点时，它们的位置关系是　　　　　　　　　　　　　　 .

　(2)过平面外一点，可以作　　　　　　　　　　　　　 条直线与已知平面平行；

过平面外一点，可以作　　　　　　　　　　　　　 个平面与已知平面平行.

　(3)已知a∥b，它们间的距离为1，直线l与平面a成60°角，则l夹在a、b之间的线段长为　　　　　　　　　　　　 ；

已知a∥b，夹在a、b之间的两条直线所夹部分线段相等，则这两条直线的位置关系是　　　　　　　　　　　　 .

1．选择题

　(1)若平面a∥平面b，直线aÌa，直线bÌb，那么直线a，b的位置关系是 (　 )

　　　　 (A)垂直　　　　　　　 (B)平行　　　　　　　　 (C)异面　　　　　　　　 (D)不相交

　(2)当a∥b时，必须满足的条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　　　　 (A)平面a内有无数条直线平行于平面b；

　　　　 (B)平面a与平面b同平行于一条直线；

　　　　 (C)平面a内有两条直线平行于平面b；

　　　　 (D)平面a内有两条相交直线与b平面平行.

4．a，b是异面直线.

　(1)求证：过a，b分别有平面a，b，使a∥b.

　(2)求证：a，b之间的距离等于a，b之间的距离.

3．已知a∥b，aÌa，bÌb，且a，b是异面直线，A∈a，B∈b，AB=12cm，若AB与b成60°，求a，b之间的距离.