4.对于直线m，n和平面，，⊥的一个充分条件是　　　　　　　　

A．m⊥n，m∥，n∥　 　　 　B．m⊥n，∩=m，n

C．m∥n，n⊥，m 　　　 　D．m∥n，m⊥，n⊥

3．已知等比数列中，为方程的两根，则 的值为

A．32　　　　　 B．64　　　　　 C．256　　　　 D．±64　　　

2．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f()= f()，则f(x)的解析式可以是　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 A．f(x)=cosx　B．f(x)=cos(2x)　C．f(x)=sin(4x)　D．f(x) =cos6x

1.设全集U=R，B)是　

　　 A．　　　　　　　　　　　 B．或

　　 C．　　　 　　　　　　　　 D．

20．(文，本题12分)已知函数f(x)=x²－2xsecα+tan²α

(1)证明：方程f(x)=0有两个相异实根；

(2)当cosα=(k∈N^*)时，设方程f(x)=0的两根分别为x_k、x^’_k，试求(其中表示a₁、a₂、…、a_n的和，n∈N^*,n≥2)

(3)在(2)下，设A_k(x_k，0)，B_k(x_k’，0)( x_k ＜x_k’ ，C_k(secα，-1),求所有△A_kB_kC_k(k=1,2, …,n)所围成的图形的面积P_n

解：(1)∵△=4 sec²α－4 tan²α=4＞0,

∴方程有两个相异实根。　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

(2)∵tan²α=k²－1,

f(x)=x²－2kx+k²－1=0,

∴　　　 (7分)

(3)∵x_k =k－1, x_k’=k+1

∴A_kB_k= x_k’ － x_k=2

又点C_k(k，－1)到x轴距离为1，∴S_△=·2·1=1

∴P_n=n S_△－(n－1)= (3 n+1)　　　　　　　　 　　(12分)

21?(本小题12分)设x、y∈R，, 为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量=x+(y+) ,=x+(y-) ,且｜｜+｜｜= 4

(1)　　 求点M(x,y)的轨迹C的方程；

(2)　　 过点(0，1)作直线l与曲线C交于A、B两点，设=+.?是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由

解：(1)法一：∵=x+(y+) ,=x +(y-)

且｜｜+｜｜=4,∴点M(x,y)到两个定点F₁(0，-)，

F₂(0，)的距离之和为4

∴轨迹C为以F₁、F₂为焦点的椭圆，方程为+x²=1　　　　　　　　　　　　 (4分)

法二：由题意知

+=4

移项得=4-

两边平方，得x²+(y+)²=x²+(y-)²-8+16

整理，得2=4-y

两边平方，得4［x²+(y-)²］=(4-y)²

展开,整理得+x²=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)∵l过y轴上的点(0，1)，若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点

∵=+=?

∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾　　　 　　　　　　　　　　　　(5分)

∴直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

由　 消去y得(4+k²)x²+2kx-3=0

此时Δ=(2k)²-4(4+k²)(-3)＞0恒成立

且x₁+x₂= -,x₁x₂= -　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

∵=+

∴四边形OAPB是平行四边形

若存在直线l,使得四边形OAPB是矩形

则OA⊥OB，即·=0

∵=(x₁,y₁), =(x₂,y₂)

∴·=x₁x₂+y₁y₂=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

即(1+k²)x₁x₂+k(x₁+x₂₎+1=0,也即

(1+k²)·(-)+k·(-)+1=0

即k²=,解得k=±

∴存在直线l:　 y=±x+1,使得四边形OAPB是矩形　　　　　　　 (12分)

22?(本小题14分)已知函数f(x)=-x³+ax²+b(a,b∈R)

(1)若函数y=f(x)图像上任意不同的两点连线斜率小于1，求证：-＜a＜

(2)若x∈［0,1］,函数y=f(x)上任一点切线斜率为k,讨论｜k｜≤1的充要条件

解：(1)设任意不同的两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),且x₁≠x₂

则＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

∴＜1

即-x₁²-x₁x₂-x₂²+a(x₁+x₂)＜1

∴-x₁²+(a-x₂)x₁-x₂²+ax₂-1＜0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

∵x₁∈R

∴Δ=(a-x₂)²+4(-x₂²+ax₂-1)＜0

即-3x₂²+2ax₂+a²-4＜0

∴-3(x₂-)²++a²-4＜0

∴a²-4＜0,∴-＜a＜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(2)当x∈［0,1］时，k=f′(x)=-3x²+2ax(7分)

由题意知：-1≤-3x²+2ax≤1,x∈［0,1］

即对于任意x∈［0,1］,｜f′(x)｜≤1等价于｜f′(0)｜，｜f′(1)｜，

｜f′()｜的值满足

或　 或　　　　　　　　　　　　 (11分)

即 或 　或

∴1≤a≤

即｜k｜≤1的充要条件是1≤a≤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

17?(本小题12分)甲、乙两个篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8，如果每人投篮两次，

(1)求甲投进2球且乙投进1球的概率；

(2)若投进1个球得2分，未投进得0分，求甲、乙两人得分相等的概率

解：(1)设甲投进二球乙投进一球的事件为A，则

P(A)=P₂(2)·P′₂(1)=(C0.7²×0.3⁰)·(C0.8×0.2)=0.1568　　　　 (5分)

(2)设甲、乙得分相等的事件为B，则

P(B)=P₂(2)·P′₂(2)+P₂(1)·P′₂(1)+P₂(0)·P′₂(0)

= C0.7²·C0.8²+(C0.7×0.3)·(C0.8×0.2)+C0.3²·C0.2²=0.4516　 (12分)

18?(文，本小题12分)已知ΔABC中，A、B、C分别是三个内角，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知2(sin²A-sin²C)=(a-b)sinB,ΔABC的外接圆的半径为，

(1)求角C

(2)求ΔABC面积S的最大值

解：(1)2(sin²A-sin²C)=(a-b)sinB,

又2R=2，由正弦定理得：

2=(a-b),

∴a²-c²=ab-b²,　 a²+b²-c²=ab

结合余弦定理得:

2ab cosC=ab,∴cosC=

又∵0＜C＜π,∴C=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(2)法一：S=ab sinC=ab sin=2RsinA·2RsinB

=2sinA sinB= -［cos(A+B)-cos(A-B)］

∵A+B=

∴S=+cos(A-B)

故当cos(A-B)=1,即A=B=时

S_max=+=3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (12分)

法二：S=ab sinC=ab sin=2R sinA·2R sinB=2sinA sinB

=2sinA sin(-A)=2sinA(sincosA-cossinA)

=2sinA(cosA+sinA)= 　(sinA cosA+sin²A)

=［sin2A+ (1-cos2A)］

= (sin2A-cos2A)+

=sin(2A-)+ ≤+=3

当2A-=时，即A=时，S_max=3　　　　　　　　　　　　　 (12分)

18．(理，本小题12分)2001年6月3日进行抚仙湖水下考古，潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行考察，氧气瓶形状如图，其结构为一个圆柱和一个圆台的组合(设氧气瓶中氧气已充满，所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸)，潜水员在潜入水下a米的过程中，速度为 v　 米/分，每分钟需氧量与速度平方成正比(当速度为1米/分时，每分钟需氧量0.2L)；在湖底工作时，每分钟需氧量为0.4 L；返回水面时，速度也为 v　 米 /分，每分钟需氧量为 0.2 L，若下潜与上浮时速度不能超过p　 米 /分，试问潜水员在湖底最多能工作多少时间？(氧气瓶体积计算精确到1L，a，p为常数)

[解答]首先计算氧气瓶中氧气的体积， 　　　　　　　　

V=V+V=π×10 ×50+π×10×(4+20+100)

≈5413π≈16997cm=17　 L　　　　　　　　　　　　　 (3分)

然后计算用氧时间：设潜入水下a米过程中的每分钟需氧量为Q，则Q=kv ²，

因当速度为1m/分时，每分钟需氧量0.2L，所以k=0.2，

故来回途中需氧量为a×0.2v+a×　 v∈(0，p)

则在湖底的工作时间为 [17－(0.2av+)]， 　　　　　　　　　(6分)

∵0.2av+≥0.4a，当且仅当v=1时取等号，所以

当p≥1时， [17－(0.2av+)]的最大值是42.5－a；　　　　　 (8分)

当p＜1时，v∈(0，p)，

　[17－(0.2av+)]－ [17－(0.2ap+)]

=，

∵v≤p＜1，vp≤p²＜1，

∴ [17－(0.2av+)]－ [17－(0.2ap+)]

=≤0，

即当v=p时，在湖底的工作时间的最大值为 [17－(0.2ap+)]

因此，当p≥1时，潜水员在湖底最多能工作42.5－a分钟；当p＜1时，潜水员在湖底最多能工作 [17－(0.2ap+)]分钟　　　　　　　　　　　　　　　　 (12分)

19?(本小题12分)甲、乙两题任选一题

(甲)如图(a)所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边BC上，ΔAMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.

(1)求证点M为边BC的中点；

(2)求点C到平面AMC₁的距离；

(3)求二面角M-AC₁-C的大小?

(乙)如图(b)，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB₁=3a，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点，

(1)求直线BE与A₁C所成的角；

(2)在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出｜｜;若不存在，说明理由

　

　　　　　 (a)　　　　　　　　　　　　　　　　　 (b)

解：(甲)(1)∵△AMC₁为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，

∴AM⊥C₁M且AM=C₁M

∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁

∴CC₁⊥底面ABC且底面ABC为正三角形

∴C₁M在底面内的射影为CM,AM⊥CM

∵底面ABC为边长为a的正三角形　　　　　　　　　　　

∴点M为BC的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)过点C作CH⊥MC₁

由(1)知AM⊥C₁M且AM⊥CM

∴AM⊥平面C₁CM

∵CH在平面C₁CM内,∴CH⊥AM

∴CH⊥平面C₁AM

由(1)知AM=C₁M=a,CM=a,且CC₁⊥BC

∴CC₁==a

∴CH===a

∴点C到平面AMC₁的距离为a　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

(3)过点C作CI⊥AC₁于I，连HI

∵CH⊥平面C₁AM

∴HI为CI在平面C₁AM内的射影

∴HI⊥AC₁,∠CIH是二面角M-AC₁-C的平面角

在直角三角形ACC₁中

CI===a

sin∠CIH===

∴∠CIH=45°

∴二面角M-AC₁-C的大小为45°　　　 　　　　　　　　　　　(12分)

(乙)(1)∵以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系(图略)

∵AC=2a,∠ABC=90°

∴AB=BC=a

∴B(0,0,0),　 C(0, a, 0),　　 A(a,0,0)

A₁(a,0,3a),　 C₁(0, a,3a),　　 B₁(0,0,3a)

∴D(a, a,3a),　　　 E(0, a,a),　　　　　　　　　　 (3分)

∴CA₁?=(a,- a,3a)

BE?=(0, a, a)

∴｜｜=a,｜｜=a

∴·=0-a²+a²=a²

∴cosθ==

故BE与A₁C所成的角为arc cos　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(2)假设存在点F，使CF⊥平面B₁DF，不妨设AF=b,

∴F(a,0,b),　 =(a,- a, b),　 =(a,0,b-3a)

=(a, a,　 0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

∵·=a²-a²=0,∴CF⊥B₁D恒成立　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

由·=2a²+b(b-3a)=0?b=a或b=2a

故当｜｜=a或2a时，CF⊥平面B₁DF　　　　　　　　　　　　　　　 (12分)

20?(理，本小题12分)已知a、b、c为正整数(a≠1)等差数列{a_n}的首项为a,公差为b,等比数列{b_n}的首项为b,公比为a,满足条件：a＜b,且b₂＜a₃,在数列{a_n}和数列{b_n}中各存在一项a_m与b_n有a_m+1=b_n成立，又设c_n=()·log₂

(1)求a,　 b的值

(2)求数列{c_n}中的最小项，并说明该项是数列{c_n}中的第几项？

(3)若数列为等差数列，求常数p

解：(1)由b₂＜a₃即题意有ab＜a+2b＜3b(∵a＜b)

b为正整数，∴1＜a＜3,而a为正整数,∴a=2

又a_m+1=b_n,∴1+2+(m-1)b=b·2^n-1,即b=∈Z+,

只有2^n-1-m+1=1方可，∴b=3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)a_n=2+3(n-1),b_n=3×2^n-1,∴b_2n+1=3×2²ⁿ

∴c_n=(n-5)×2n=2n²-10n,利用二次函数并结合n为正整数，当n=2或3时，

c_n取得最小值-12　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)

(3)法一：设==2n+t

则2n²-10n=2n²+(2p+t)n+pt

∴　 ∴　 或　　

∴当p=0或p=-5时，数列为等差数列　　　　　　　　　　　 (12分)

法二：∵=, =,=,

又∵为等差数列

∴2×=+,即p²+5p=0

∴p=0或-5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (12分)

16．(理)点集C₁、C₂、C₃、C₄分别表示函数f₁(x)=3^x，f₂(x)= 3^|x|，f₃(x)=3^－x ，f₄(x)=3^－|x|的图象，给出以下四个命题：

①C₁C₂；②C₄C₃；③C₁∪C₃= C₄∪C₂；④C₁∩C₃=C₂∩C₄

其中正确的命题是________

答案：③④(提示：只要分别画出四个函数的图象，即可判断出③④正确)

16. (文)已知函数f(x)=3^x的反函数是f ^-1(x),且f ^-1(6)=a+1，则函数y=3 ^ax (x∈［0,2］)的值域为

_________________________

答案：［1，4］(提示：f^-1(x)=1og₃^x,∴f ^–1 (6)=1og₃⁶=a+1,∴a=1og₃²,∴y=3^ax=

3 ^log₃^2·x = (3log₃²)^x=2^x,∵x∈［0,2］,∴值域为［1，4］)

15．(理)若二次函数f₁(x)=a₁x²+b₁x+c₁和f₂(x)=a₂x²+b₂x+c₂使得f₁(x)+f₂(x)在(－∞，4)上单调增加，在(4，+∞)上单调递减，试写出一组满足上述要求的二次函数：

f₁(x)=_______；f₂(x)=__________(注：填上你认为正确的一组函数即可，不必考虑所有可能的情况)

答案：不唯一(提示：两函数只要满足a₁+a₂＜0，且－=4即可。)

15. (文)若函数f(x)=x²+(m-1)x+n+3,x∈［m,a］的图象关于直线x=-2对称，则a=__________

答案：-9(提示：由对称轴为x=-2得，-=-2,∴m=5,图象关于直线x=-2对称，定义域必须也关于x=-2对称，∴=-2,∴a=-9,填-9)