1．

　　　 A．　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　 　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

21．(本小题满分14分)如图，为等腰直角的直角顶点，、都垂直于

所在的平面，

(1)求二面角的大小；

(2)求点到平面的距离；

(3)问线段上是否存在一点，使得平面且若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．

答案：几何法：

(1)作于，平面平面

则向量与所成的角即为二面角的大小.

由计算得故

∴由面积求得，由射影定理可求得.

而则

故，故二面角的大小为

(2)平面，平面，

故A、C、D、E四点共面.　 且平面平面

作于,则有平面

，

∴　 ∴

由故

由得即到平面的距离是.

(3)假设线段BE上存在点，使，平面.

平面，平面.又，平面　 又(F不与B重合)，故平面，则

而由计算得:故这与矛盾,故上不存在,使(或平面，，而过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直)

向量法：

过作平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.

(1)设平面的一个法向量为则，

　故　

同理：平面的一个法向量为，则

二面角的大小为

(2)由(1)知平面的一个法向量为，而，

故D到平面的距离是

(3)若上存在使平面，显然此时故

(上式也可用向量共线与共面定理得到F点的坐标)∴，故与不垂直，故在上不存在符合题意的点。

(3)若点F存在，则，

由B(，0，0)，∴F，

∴，

平面ABC的法向量是，

由平面ABC，∴，

∴，∴，即F，

∴，

而，欲，∴，

这不可能，∴这样的点F不存在。

20．(本小题满分13分)如图，在梯形中，

平面，且

(1)求异面直线与间的距离；

(2)求直线与平面所成的角；

(3)已知是线段上的动点，若二面角的

大小为，求AF.

答案：(1)平面平面，故与间的距离就是

到平面的距离．取中点，连．

平面又平面故平面平面由得平面，故的长度是到平面的距离，而故与间的距离是

(2)由(1)知：到平面的距离即为到平面距离，故到平面 的距离是在中：设直线与平面所成的角是，故，∴直线与平面所成的角是

(3)作于，作于，连.由得则证得 可证得∠CKM是二面角的平面角，所以，，

∴，由，

设，则，，由二面角的平面角小于得，故取，即.

方法二：以A点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

使轴、轴和轴的正半轴依次过点B、D、P，则各点的坐标依次为

A(0，0，0)、B(3，0，0)，C(3，3，0)，D(0，9，0)，P(0，0，3)，

(Ⅰ)，，设，

则，∴，∴可取，

而，∴所求的距离；

(Ⅱ)设平面PBC，则由，，

∴，∴，而，

，

∴所求的角为；

(Ⅲ)设F，平面PAF的法向量是，

设平面PCF的法向量是，则，，

∴，取，

∴，即，，即，

∴，解得，或，

但，∴。

19．(本小题满分12分)号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球.

(1)若1、2号球要放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？

(2)若3、4号球要放入编号不比自己号码小的盒子中，则不同的放法有多少种？

(3)若1号球不放入1号盒中，6号球不放入6号盒中，则不同的放法有多少种？

答案：(1)号码是相邻数字的两个盒子有1与2、2与3、3与4、4与5、5与6共5种情况，则符合题意的放法有种；

(2)①若3号球放入3号盒子，则不同的放法有种；

②若3号球放入4号、5号、6号盒子中的一个，则不同的放法有种；

故符合题意的放法有+=216种；

(3)六个球放入六个盒子中的方法有种，1号球放入1号盒中，6号球不放入6号盒中的方法有种；1号球不放入1号盒中，6号球放入6号盒中的方法有种；1号球放入1号盒中，6号球放入6号盒中的方法有种；

故符合题意的放法有－×2－=504种.

18．(本小题满分12分)如图，四边形是边长为的正方形，、分别是边、

上的点(M不与A、D重合)，且，交于点，沿将正方形折成

直二面角

(1)当平行移动时，的大小是否发生变化？试说明理由；

(2)当在怎样的位置时，、两点间的距离最小？并求出这个最小值.

答案：(1)设，则由题意知：平面平面，

而故平面

.

而故

即无论怎样平移,为定值.

(2)由(1)知：故当时，有最小值，即当M、N分别为、中点时，有最小值

17．(本小题满分12分)如图，斜三棱柱中，

在底面的射影恰好是的中点，侧棱与底面

成角，侧面与侧面成角.

(1)求证：四边形是矩形；

(2)求斜三棱柱的体积.

答案：(1)由在底面的射影是得底面，则.

，，由 ，得四边形是矩形.

(2)平面，侧面平面，，侧面

过作于，连则是侧面与侧面所成的二面角的平面角，故.是的中点，∴在中，，.在中， 在中，，

16.(本小题满分12分)已知展开式的二项式系数之和比展开式的二项式系数之和小.

(1)求；

(2)求的第二项的系数和的第项.

答案：(1)由题意得：，即∴(舍去)，故；

(2) 第二项是，故第二项的系数是；

的第项是.

15．如图，在直棱柱中，，，AA₁=2，E、F分别是AC、AB的中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为，则截面的面积为____________.

答案：或 理由：由判断得经过A₁或B₁C₁的截面与底面ABC

所成的角小于，故截面与相交，且有两种情况：

如图，截面为EFMN，过N作NP∥AA₁，则NP⊥AC，

可证EF⊥平面A₁C，则，，

，

故， ∴

∴

同理： 故截面面积为或

14．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E (如图). 现将沿DE折起，使二面角的大小为，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小为　　　　　　　 .

答案：. 理由：

取AE中点G，连MG、GB. 则可证GM∥BN，

故MN∥BG，而DE⊥EB，DE⊥AE，∴

又AB⊥BE，G为AE中点，∴BG⊥AE，　　 ∴MN⊥AE

∴MN与AE所成的角为.

13．如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的所有项系数和是　　　　 .

答案：. 理由：由只有第4项的二项式系数最大得最大，故n=6. 令得展开式中所有项系数的和是.